Test χ² , oraz test Fishera dla tabel 2 × 2 oraz ich poprawki

Test ten jest wyliczany dla tabel kontyngencji 2×2 - tabel dla 2 cech (X, Y ), z których każda ma możliwe dwie kategorie (patrz : tabele kontyngencji). Dla tabel takich oprócz testów statystycznych wyliczany jest iloraz szans (ang. Odds Ratio - OR) jak i relatywne ryzyko (ang. Relative Risk - RR) wraz z przedziałami ufności.

Podstawowe warunki stosowania:

• pomiar na skali nominalnej (porządkowej lub interwałowej),
• model niezależny.

Dodatkowy warunek dla testu χ² :

• duże liczności oczekiwane (według interpretacji Cochrana (1952) żadna z liczności oczekiwanych nie może być < 1 oraz nie więcej niż 20% liczności oczekiwanych może być < 5).

Hipotezy w brzmieniu ogólnym:

• : O_ij = E_ij dla wszystkich kategorii,
• : O_ij ≠ E_ij dla przynajmniej jednej kategorii.

Hipotezy w brzmieniu testu niezależności:

• : nie istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami populacji (obie klasyfikacje ze względu na cechę X i na cechę Y są statystycznie niezależne),
• : istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami populacji.

Hipotezy w brzmieniu testu heterogeniczności:

• : w badanej populacji rozkład kategorii cechy X jest taki sam dla obu kategorii cechy Y,
• : w badanej populacji rozkład kategorii cechy X jest inny dla obu kategorii cechy Y.

Test χ² dla tabel 2 × 2

Polecenie:

Statystyka Testy nieparametryczne (kat. nieuporządkowane) Chi-kwadrat (2x2) OR/RR

Test χ² dla tabel 2 × 2 (Karl Pearson 1900) jest zawężeniem testu χ² dla tabel R × C

Test χ² z poprawką Yatesa na ciągłość

Test χ² z poprawką Yatesa (Frank Yates (1934)) jest testem bardziej konserwatywny od testu χ² (trudniej niż test χ² odrzuca hipotezę zerową). Poprawka na ciągłość ma zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu χ².

• jeżeli p ≤α ⇒ odrzucamy H₀ przyjmując H₁,
• jeżeli p >α ⇒ nie ma podstaw odrzucić H₀.

Rozpatrzmy próbę składającą się z 170 osób (n = 170), dla których badamy 2 cechy (X=płeć, Y =zdawalność egzaminu). Każda z tych cech występuje w dwóch kategoriach (X1=k, X2=m, Y1=tak, Y2=nie). Na podstawie tej próby chcielibyśmy się dowiedzieć, czy w badanej populacji istnieje zależność pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu. Rozkład danych przedstawia tabeli kontyngencji:

Tabela liczności oczekiwanych nie zawiera wartości mniejszych niż 5. Wartość p = 0.000053. Zatem na poziomie istotności α = 0.05 przyjmujemy hipotezę alternatywną mówiącą o występowaniu zależności pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu w badanej populacji. Istotnie częściej ten egzamin zdają kobiety (50/90 = 55.56% z wszystkich kobiet w próbie zdało egzamin) niż mężczyźni (20/80 = 25.00% z wszystkich mężczyzn w próbie zdało egzamin).

Test dokładny Fishera

Polecenie:

Statystyka Testy nieparametryczne (kat. nieuporządkowane) Fisher, mid-p (2x2)

Test dokładny Fishera (R. A. Fisher (1934, 1935)) określa dokładne prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego rozkładu liczb w tabeli przy znanym n i ustalonych licznościach brzegowych.

Test mid-p

Test ten jest korektą testu dokładnego Fishera. Ta zmodyfikowana wartość poziomu istotności jest rekomendowana przez wielu statystyków (Lancaster 1961, Anscombe 1981, Pratt and Gibbons 1981, Plackett 1984, Miettinen 1985 and Barnard 1989) jako metoda zmniejszenia konserwatyzmu testu dokładnego Fishera. W rezultacie testem mid-p szybciej odrzucimy hipotezę zerowa niż dokładnym testem Fishera.

• jeżeli p ≤α ⇒ odrzucamy H₀ przyjmując H₁,
• jeżeli p >α ⇒ nie ma podstaw odrzucić H₀.

Dwustronna wartość p testu dokładnego Fishera wynosi 0.000083, a mid-p 0.000054. Zatem podobnie jak dla testu χ² i χ² z poprawką Yatesa, na poziomie istotności α = 0.05 przyjmujemy hipotezę alternatywną mówiącą o występowaniu zależności pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu w badanej populacji. Istotnie częściej ten egzamin zdają kobiety (50/90 = 55.56% z wszystkich kobiet w próbie zdało egzamin) niż mężczyźni (20/80 = 25.00% z wszystkich mężczyzn w pr??bie zdało egzamin).