Test χ² dobroci dopasowania

Polecenie:

Statystyka Testy nieparametryczne (kat. nieuporządkowane) Chi-kwadrat

Test χ² dobroci dopasowania nazywany jest również testem χ² dla pojedynczej próby, przeznaczony jest do testowania zgodności wartości obserwowanych dla k (k >=2) kategorii X₁,X₂, ...,X_k jednej cechy X z hipotetycznymi wartościami oczekiwanymi dla tej cechy. Wartości wszystkich n pomiarów należy zebrać w postaci tabeli składającej się z k wierszy (kategorii: X₁,X₂, ...,X_k).
Dla każdej kategorii X_i zapisuje się częstość jej występowania O_i oraz częstość dla niej oczekiwaną E_i lub prawdopodobieństwo jej wystapienia p_i. Częstość oczekiwana jest wyznaczana jako iloczyn E_i = np_i i suma wszystkich częstości oczekiwanych i częstości obserwowanych jest taka sama, a suma wszystkich prawdopodobieństw p_i wynosi 1.
Utworzona tabela może przyjąć jedną z poniższych postaci:
       

• pomiar na skali nominalnej (porządkowej lub interwałowej),
• duże liczności oczekiwane (według interpretacji Cochrana (1952) żadna z liczności oczekiwanych nie może być < 1 oraz nie więcej niż 20% liczności oczekiwanych może być < 5).

• : Ο_i = E_i dla wszystkich kategorii,
• : Ο_i ≠ E_i dla przynajmniej jednej kategorii.

• jeżeli p ≤α ⇒ odrzucamy H₀ przyjmując H₁,
• jeżeli p >α ⇒ nie ma podstaw odrzucić H₀.

Chcielibyśmy sie dowiedzieć, czy liczba wydawanych obiadów w kolejnych dniach tygodnia (od poniedziałku do piątku) w pewnej szkolnej stołówce jest statystycznie taka sama. W tym celu pobrano tygodniową próbę i zapisano dla niej ilość wydanych obiadów w poszczególnych dniach: poniedziałek - 33, wtorek - 29, środa - 32, czwartek - 36, piątek - 20. Łącznie przez cały tydzień (5 dni) wydano 150 obiadów.
Zakładamy, że w każdy dzień prawdopodobieństwo wydania obiadu jest takie samo, czyli wynosi 1/5 . Oczekiwana liczba wydanych obiadów dla każdego z pięciu dni tygodnia wynosi więc E_i = 150*1/5 = 30.

Wartość p z rozkładu chi-kwadrat dla 4 stopni swobody wynosi 0.287297. Zatem na poziomie istotności α = 0.05 możemy powiedzieć, że nie mamy podstaw, aby odrzucić hipotezę zerową mówiącą o zgodności liczby wydawanych obiadów z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w poszczególnych dniach.

Gdybyśmy chcieli w ramach jednego badania dokonać większej liczby porównań, moglibyśmy zastosować poprawkę Bonferroniego Abdi H. (2007). Ta poprawka jest używana by ograniczyć wielkość popełnionego błędu pierwszego rodzaju, gdy porównujemy wartości obserwowane i oczekiwane pomiędzy wybranymi dniami np:
Pt i Pn,
Pt i Wt,
Pt i Śr,
Pt i Czw,
przy założeniu, że porównania wykonujemy niezależnie. Poziom istotności α dla każdego porównania wyznaczamy zgodnie z tą poprawką według wzoru: α = 0.05/k, gdzie k to liczba wykonywanych porównań. Poziom istotności dla pojedynczego porównania zgodnie z poprawką Bonferroniego wynosi dla naszego przykładu α = 0.05/4 = 0.0125.
Należy jednak pamiętać, że redukując alfa dla każdego porównania zmniejszamy również moc testu.