Współczynniki korelacji liniowej

Polecenie:

Statystyka Testy parametryczne zależność liniowa (r-Pearsona)

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r_p (Pearson (1896,1900)) jest wykorzystywany do badania siły związku liniowego pomiędzy cechami X i Y. Można go wyznaczać dla skali interwałowej o ile rozkład badanych cech jest rozkładem normalnym.

gdzie x_i, y_i - kolejne pomiary cechy X i Y, - średnia cechy X i cechy Y, n - liczebność próby.

Uwaga! R_p oznacza współczynnik korelacji Pearsona w populacji, r_p w próbie.

Wartość r_p∈< -1; 1 > interpretujemy w następujący sposób:

• r_p ≈ 1 oznacza silną dodatnią zależność liniową, tj. punkty pomiarowe leżą blisko linii prostej a wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada wzrost zmiennej zależnej;
• r_p ≈ -1 oznacza silną ujemną zależność liniową, tj. punkty pomiarowe leżą blisko linii prostej, lecz wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada spadek zmiennej zależnej;
• gdy współczynnik korelacji liniowej przyjmuje wartość równą lub bardzo bliską zeru wówczas nie istnieje liniowa zależność między badanymi parametrami (ale może istnieć związek nieliniowy).

Współczynnik determinacji

Tworzony model korelacji przedstawia zależność liniową postaci y = βx + α. Współczynniki β i α równania regresji liniowej możemy wyznaczyć z wzorów:

Test t do sprawdzania istotności współczynnika korelacji liniowej Pearsona r_p

Test do sprawdzania istotności współczynnika korelacji liniowej Pearsona służy do weryfikacji hipotezy o braku zależności liniowej pomiędzy badanymi cechami populacji i opiera się na współczynniku korelacji liniowej Pearsona wyliczonym dla próby. Im wartość r_p będzie bliższa 0, tym słabszą zależnością związane są badane cechy.

Podstawowe warunki stosowania:

• pomiar na skali interwałowej,
• normalność rozkładu badanych cech.

Test t do sprawdzania istotności współczynników równania regresji liniowej

Służy do weryfikacji hipotezy o braku zależności liniowej pomiędzy badanymi cechami populacji i opiera się na współczynniku nachylenia prostej wyliczonym dla próby. Im wartość β będzie bliższa 0, tym słabszą zależność dopsaowana prosta przedstawia.

Podstawowe warunki stosowania:

• pomiar na skali interwałowej,
• normalność rozkładu badanych cech.

• : β = O,
• : β ≠ O.

• jeżeli p ≤α ⇒ odrzucamy H₀ przyjmując H₁,
• jeżeli p >α ⇒ nie ma podstaw odrzucić H₀.

Wśród uczniów pewnej szkoły baletowej badano zależność pomiędzy wiekiem a wzrostem. Wtym celu pobrano próbę obejmującą szesnaścioro dzieci i zapisano dla nich następujące wyniki pomiaru tych cech:
(wiek, wzrost): (5, 128) (5, 129) (5, 135) (6, 132) (6, 137) (6, 140) (7, 148) (7, 150) (8, 135) (8, 142) (8, 151) (9, 138) (9, 153) (10, 159) (10, 160) (10, 162).

Hipotezy:
H0 : nie istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem dla populacji dzieci badanej szkoły,
H1 : istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem dla populacji dzieci badanej szkoły.

Porównując wartość p=0.000069 z poziomem istotności α = 0.05 stwierdzamy, że istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem dla populacji dzieci badanej szkoły. Zależność ta jest wprost proporcjonalna, tzn. wraz ze wzrostem wieku dzieci rośnie wysokość ciała. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona, a zatem siła związku liniowego pomiędzy wiekiem a wzrostem wynosi r²=0.8302.

Współczynnik determinacji r²_p = 0.6892 oznacza, że ok. 69% zmienności wzrostu jest tłumaczona zmiennością wieku.

Z równania regresji postaci:
wzrost = 5.09 · wiek + 105.83
można wyliczyć predykcyjną wartość dla dziecka w wieku np. 6 lat. Przewidywany wzrost takiego dziecka wynosi 136.37cm.