Poprawki testu chi-kwadrat dla małych tabel

Kiedy stosować te warianty:

Gdy w tabeli \(2\times 2\) liczności oczekiwane są małe (warunek Cochrana nie jest spełniony), podstawowy test \(\chi^2\) może dawać zawyżoną wiarygodność wyniku. W takiej sytuacji lepiej oprzeć wniosek na jednym z poniższych, bardziej odpowiednich dla małych liczności wariantów. Wszystkie są liczone automatycznie razem z testem podstawowym.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej,
model niezależny,
tabela kontyngencji \(2\times 2\) (patrz tabela (1)).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat, Fisher, OR/RR (lub poprzez Kreator) – wszystkie warianty pojawiają się w jednym raporcie razem z testem podstawowym.

Test chi-kwadrat z poprawką Yatesa na ciągłość

Test \(\chi^2\) z poprawką Yatesa (ang. Chi-square test with Yates correction), Frank Yates (1934)[176], jest bardziej konserwatywny od testu \(\chi^2\) – trudniej niż test \(\chi^2\) odrzuca hipotezę zerową. Poprawka na ciągłość ma zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu \(\chi^2\).

Test Fishera dla tabel \(2\times 2\)

Test Fishera dla tabel \(2\times 2\), nazywany również testem dokładnym Fishera (ang. Fisher exact test), R. A. Fisher (1934[57], 1935[58]), określa dokładne prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego rozkładu liczb w tabeli przy znanym \(n\) i ustalonych sumach brzegowych.

Test mid-p

Test mid-p jest korektą testu dokładnego Fishera, rekomendowaną przez wielu statystyków (Lancaster 1961[98], Anscombe 1981[9], Pratt i Gibbons 1981[136], Plackett 1984[135], Miettinen 1985[121], Barnard 1989[15], Rothman 2008[141]) jako metoda zmniejszenia konserwatyzmu testu dokładnego Fishera – testem mid-p szybciej odrzucimy hipotezę zerową niż dokładnym testem Fishera. Dla dużych prób wartość \(p\) testu \(\chi^2\) z poprawką Yatesa i testu Fishera są zbliżone, natomiast wartość \(p\) testu \(\chi^2\) bez korekcji koresponduje z wartością mid-p.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Test chi-kwadrat z poprawką Yatesa – statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\frac{(|O_{ij}-E_{ij}|-0.5)^2}{E_{ij}}. \]

Test Fishera – przy znanych sumach brzegowych, dla różnych układów wartości obserwowanych wyznaczamy prawdopodobieństwa \(P\):

\[ P=\frac{{O_{11}+O_{21} \choose O_{11}}{O_{12}+O_{22} \choose O_{12}}}{{O_{11}+O_{12}+O_{21}+O_{22} \choose O_{11}+O_{12}}}. \]

Dokładny poziom istotności \(p\) jest sumą tych prawdopodobieństw, które są mniejsze lub równe badanemu prawdopodobieństwu.

Test mid-p – jednostronna wartość \(p\) wyznaczana jest przez przekształcenie wartości prawdopodobieństwa testu dokładnego Fishera:

\[ p_{I(mid-p)}=p_{I(Fisher)}-0.5\cdot P_{punktu(tabeli\quad zadanej)}, \]

gdzie \(p_{I(mid-p)}\) – wartość jednostronna \(p\) testu mid-p, \(p_{I(Fisher)}\) – wartość jednostronna \(p\) testu dokładnego Fishera. Dwustronna wartość \(p\) jest zdefiniowana jako podwojona wartość mniejszego z jednostronnych prawdopodobieństw:

\[ p_{II(mid-p)}=2p_{I(mid-p)}. \]