Test chi-kwadrat zgodności

Kiedy stosować ten test:

Test \(\chi^2\) zgodności (dobroci dopasowania) (ang. Chi-square goodness-of-fit test), nazywany również testem \(\chi^2\) dla pojedynczej próby, przeznaczony jest do testowania zgodności wartości obserwowanych dla \(r\) (\(r\geq2\)) kategorii \(X_1, X_2,..., X_r\) jednej cechy \(X\) z hipotetycznymi wartościami oczekiwanymi dla tej cechy. Wartości wszystkich \(n\) pomiarów należy zebrać w postaci tabeli składającej się z \(r\) wierszy (kategorii: \(X_1, X_2, ..., X_r\)). Dla każdej kategorii \(X_i\) zapisuje się częstość jej występowania \(O_i\) oraz częstość dla niej oczekiwaną \(E_i\) lub prawdopodobieństwo jej wystąpienia \(p_i\). Częstość oczekiwana jest wyznaczana jako iloczyn \(E_i=np_i\).

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej – ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
duże liczności oczekiwane według interpretacji Cochrana (1952)[41],
suma liczności obserwowanych powinna być taka sama jak suma liczności oczekiwanych, a suma wszystkich prawdopodobieństw \(p_i\) powinna wynosić 1.

Uwaga!

Utworzona tabela danych może przyjąć jedną z poniższych postaci:

Kategorie \(X_i\)	\(O_i\)	\(E_i\)
\(X_1\)	\(O_1\)	\(E_i\)
\(X_2\)	\(O_2\)	\(E_2\)
...	...	...
\(X_r\)	\(O_r\)	\(E_r\)

Kategorie \(X_i\)	\(O_i\)	\(p_i\)
\(X_1\)	\(O_1\)	\(p_1\)
\(X_2\)	\(O_2\)	\(p_2\)
...	...	...
\(X_r\)	\(O_r\)	\(p_r\)

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat (lub poprzez Kreator).

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik obiady.pqs)
Chcielibyśmy się dowiedzieć, czy liczba wydawanych obiadów w kolejnych dniach tygodnia (od poniedziałku do piątku) w pewnej szkolnej stołówce jest statystycznie taka sama. W tym celu pobrano tygodniową próbę i zapisano dla niej liczbę wydanych obiadów w poszczególnych dniach: poniedziałek – 33, wtorek – 29, środa – 32, czwartek – 36, piątek – 20.

Łącznie przez cały tydzień (5 dni) wydano 150 obiadów. Zakładamy, że w każdy dzień prawdopodobieństwo wydania obiadu jest takie samo, czyli wynosi \(\frac{1}{5}\). Oczekiwana liczba wydanych obiadów dla każdego z pięciu dni tygodnia wynosi więc \(E_i=150\cdot\frac{1}{5}=30\).

\(p=0.287297\) dla \(df=4\) (nieistotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Nie ma podstaw, aby odrzucić hipotezę zerową mówiącą o zgodności liczby wydawanych obiadów z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w poszczególnych dniach.

Uwaga! Gdybyśmy chcieli w ramach jednego badania dokonać większej liczby porównań, moglibyśmy zastosować poprawkę Bonferroniego[2] lub inną z poprawek opisanych w dziale Wielokrotne porównania. Poprawka ta jest używana, by ograniczyć wielkość popełnianego błędu pierwszego rodzaju, gdy porównujemy wartości obserwowane i oczekiwane pomiędzy wybranymi dniami, np.: Pt \(\Longleftrightarrow\) Pn, Pt \(\Longleftrightarrow\) Wt, Pt \(\Longleftrightarrow\) Śr, Pt \(\Longleftrightarrow\) Czw – przy założeniu, że porównania wykonujemy niezależnie. Poziom istotności \(\alpha\) dla każdego porównania wyznaczamy zgodnie z tą poprawką według wzoru \(\alpha=\frac{0.05}{r}\), gdzie \(r\) to liczba wykonywanych porównań – dla naszego przykładu wynosi więc \(\alpha=\frac{0.05}{4}=0.0125\). Należy jednak pamiętać, że redukując \(\alpha\) dla każdego porównania, zmniejszamy również moc testu.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & O_i=E_i \text{ dla wszystkich kategorii,}\\ \mathcal{H}_1: & O_i \neq E_i \text{ dla przynajmniej jednej kategorii.} \end{array} \]

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}. \]

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody wyznaczaną według wzoru \(df=(r-1)\).

Wyznaczoną na podstawie wartości statystyki i rozkładu \(\chi^2\) wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).