PQStat ANOVA Kruskala-Wallisa
Kiedy stosować ten test:
Jednoczynnikowa analiza wariancji dla rang Kruskala-Wallisa [96][97] to nieparametryczny odpowiednik ANOVA dla grup niezależnych, będący rozszerzeniem testu U Manna-Whitneya na więcej niż dwie populacje. Pozwala sprawdzić, czy rozkład badanej cechy (najczęściej: jej mediana) jest taki sam w co najmniej trzech niezależnych od siebie populacjach – stosuje się go zamiast ANOVA dla grup niezależnych, gdy nie są spełnione warunki tego testu.
Warunki stosowania
- pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
- model niezależny.
Test zakłada, że rozkłady badanej zmiennej w porównywanych populacjach są sobie zbliżone kształtem – równość wariancji rang można sprawdzić testem dla rang Conovera. Jeśli interesuje nas istnienie trendu w ułożeniu badanych grup, można dodatkowo wykonać test Jonckheere-Terpstra dla trendu.
Jak ustawić analizę
Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) ANOVA Kruskala-Wallisa (lub poprzez Kreator).
Wykonanie i interpretacja
Przykład 1. (plik satysfakcjaZpracy.pqs)
Przepytano grupę 120 osób, dla których wykonywane zajęcie jest ich pierwszą pracą uzyskaną po otrzymaniu odpowiedniego wykształcenia. Ankietowani oceniali satysfakcję z wykonywanej pracy w pięciostopniowej skali, gdzie: 1 – praca niesatysfakcjonująca, 2 – praca dająca niewielką satysfakcję, 3 – praca dająca przeciętny poziom satysfakcji, 4 – praca dająca dość dużą satysfakcję, 5 – praca bardzo satysfakcjonująca. Sprawdzimy, czy poziom deklarowanej satysfakcji z pracy różni się dla poszczególnych kategorii wykształcenia.
Przeprowadzona analiza POST-HOC Dunna z korektą Bonferroniego wskazuje, że istotne różnice dotyczą osób z wykształceniem podstawowym i średnim oraz z wykształceniem podstawowym i wyższym. Nieco więcej różnic potwierdza silniejszy test POST-HOC Conover-Iman.
Na wykresie przedstawiającym mediany i kwartyle widać grupy jednorodne wyznaczone przez test POST-HOC. Dla wyniku Dunna z korektą Bonferroniego widoczne są dwie grupy jednorodne, które nie są całkowicie odrębne: grupa (a) – osoby słabiej oceniające satysfakcję z pracy i grupa (b) – osoby lepiej ją oceniające. Wykształcenie zawodowe przynależy do obu tych grup, co oznacza, że osoby z tym wykształceniem oceniają satysfakcję z pracy dość różnorodnie.
Dokładny opis danych możemy przedstawić, wybierając w oknie analizy statystyki opisowe 
i wskazując na dodanie do opisu liczności i procentów.
Rozkład odpowiedzi możemy też przedstawić na wykresie liczności.
Hipotezy: dotyczą równości średnich rang dla kolejnych populacji lub są upraszczane do median:
gdzie \(\phi_1,\phi_2,...\phi_k\) to rozkłady badanej zmiennej w populacjach, z których pobrano próby.
Wzory: statystyka testowa ma postać:
gdzie:
\(N=\sum_{j=1}^k n_j\),
\(n_j\) – liczności prób dla \((j=1,2,...k)\),
\(R_{ij}\) – rangi przypisane do wartości zmiennej, dla \((i=1,2,...n_j)\), \((j=1,2,...k)\),
\(\displaystyle C=1-\frac{\sum(t^3-t)}{N^3-N}\) – korekta na rangi wiązane,
\(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej. Poprawka \(C\) jest stosowana, gdy rangi wiązane występują (w przeciwnym razie \(C=1\)).
Statystyka \(H\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody \(df=(k-1)\).
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).
Testy POST-HOC
Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC znajduje się w rozdziale Kontrasty i testy POST-HOC dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji.
Test Dunna
Dla porównań prostych, zarówno równolicznych jak i różnolicznych grup (Dunn, 1964[52]). Zawiera poprawkę na rangi wiązane (Zar, 2010[182]) i jest korygowany ze względu na wielokrotne testowanie – najczęściej korektą Bonferroniego lub Sidaka (inne korekty opisano w dziale Wielokrotne porównania).
- \(\mathfrak{(i)}\)
Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:
\[ NIR=Z_{\alpha(corrected)}\sqrt{\left(\frac{N(N+1)}{12}-\frac{\sum(t^3-t)}{12(N-1)}\right)\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}}, \]gdzie \(t\) to liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej, a \(Z_{\alpha(corrected)}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu normalnego dla poziomu istotności \(\alpha\) skorygowanego o liczbę możliwych porównań prostych \(c\) zgodnie z wybraną poprawką.
- \(\mathfrak{(ii)}\)
Statystyka testowa ma postać:
\[ Z=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{R}_j}{\sqrt{\left(\frac{N(N+1)}{12}-\frac{\sum(t^3-t)}{12(N-1)}\right)\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}}}, \]gdzie \(\overline{R}_j\) – średnia rang \(j\)-tej grupy, dla \((j=1,2,...k)\). Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności próby) rozkład normalny, a wartość \(p\) jest korygowana o liczbę możliwych porównań prostych \(c\) zgodnie z wybraną poprawką.
Test Conover-Inman
Nieparametryczny odpowiednik LSD Fishera[47], stosowany dla porównań prostych, zarówno równolicznych jak i różnolicznych grup.
- \(\mathfrak{(i)}\)
Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:
\[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,1,N-k}}\cdot\sqrt{S^2\frac{N-1-H}{N-k}\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}}, \]gdzie \(\displaystyle S^2=\frac{1}{N-1}\left(\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^{n_j}R_{ij}^2-N\frac{(N+1)^2}{4}\right)\), a \(F_{\alpha,1,N-k}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz dla stopni swobody odpowiednio: 1 i \(N-k\).
- \(\mathfrak{(ii)}\)
Statystyka testowa ma postać:
\[ t=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{R}_j}{\sqrt{S^2\frac{N-1-H}{N-k}\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}}}, \]gdzie \(\overline{R}_j\) – średnia rang \(j\)-tej grupy, dla \((j=1,2,...k)\). Statystyka ta podlega rozkładowi \(t\)-Studenta z \(N-k\) stopniami swobody.