Test Wilcoxona (kolejności par)

Kiedy stosować ten test:

Test kolejności par Wilcoxona (ang. Wilcoxon matched-pairs test) stosujemy, gdy tę samą cechę mierzymy dwukrotnie u tych samych osób, w różnych warunkach (np. przed i po leczeniu), a dane nie spełniają założeń testu \(t\)-Studenta dla grup zależnych (np. nie mają rozkładu normalnego). Sprawdzamy nim, czy wynik pomiaru się zmienił.

Test nazywany jest również testem Wilcoxona dla grup zależnych, Wilcoxon (1945[171], 1949[172]) – jest rozszerzeniem na dwie zależne próby testu rangowanych znaków Wilcoxona (przeznaczonego dla jednej próby).

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
model zależny.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Wilcoxon (kolejności par) (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż dwie zmienne odpowiadające pierwszemu i drugiemu pomiarowi (np. poziom bólu przed i po kuracji).

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Od wersji 1.8.0 mediana wyliczana dla kolumny różnica obejmuje wszystkie pary wyników za wyjątkiem tych, których różnica wynosi 0.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik ból.pqs)
Pobrano próbę 22 pacjentów cierpiących na raka. Badano u nich poziom odczuwanego bólu (na skali od 1 do 10, gdzie 1 to brak bólu a 10 to ból największy). Badanie to powtórzono po miesiącu stosowania kuracji nowym lekiem mającym obniżyć poziom odczuwanego bólu. Otrzymano następujące wyniki: (przed, po): (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3,1) (3, 2) (3, 2) (3, 3) (4, 1) (4, 3) (4, 4) (5, 1) (5, 1) (5, 2) (5, 4) (5, 4) (6, 1) (6, 3) (7, 2) (7, 4) (7, 4) (8, 1) (8, 3). Chcemy sprawdzić, czy zastosowana kuracja ma wpływ na poziom odczuwanego bólu w populacji, z której pochodzi próba.

\(p=0.000211\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W badanej populacji poziom odczuwanego bólu istotnie statystycznie zmienił się po miesiącu kuracji – spadł (suma rang ujemnych jest znacznie większa niż suma rang dodatnich).

Wartość \(p\) wyznaczoną na podstawie statystyki testowej porównujemy zawsze z przyjętym poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), różnica jest istotna statystycznie; gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, by twierdzić, że wystąpiła zmiana. Taką samą decyzję podjęlibyśmy również na podstawie wartości \(p=0.00021\) lub \(p=0.000229\) testu Wilcoxona opartego o statystykę \(Z\) (odpowiednio bez i z poprawką na ciągłość). Różnice możemy zaobserwować na wykresie typu ramka-wąsy lub wykresie kolumnowym. Warto dodatkowo zgłosić wielkość efektu (d-Cohena) – sama istotność statystyczna nie mówi, jak duża jest zmiana.

Definicje miar

r (wielkość efektu) – miara siły efektu oparta na przekształceniu statystyki testowej \(Z\); przyjmuje wartości od 0 (brak efektu) do 1 (maksymalny efekt).

d-Cohena – standaryzowana miara wielkości efektu, wyliczana tu na podstawie \(r\) zgodnie ze standardową konwersją stosowaną przy meta-analizach. Pozwala ocenić praktyczne znaczenie różnicy niezależnie od liczności próby.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy: dotyczą równości sumy rang dodatnich i ujemnych lub są upraszczane do median:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_0=0, \\ \mathcal{H}_1: & \theta_0\neq 0, \end{array}\)

gdzie \(\theta_0\) – mediana \(d_i\) w populacji.

Wzory: w zależności od wielkości próby statystyka testowa przyjmuje inną postać. Dla małej liczności próby:

\[ T=\min\left(\sum R_-,\sum R_+\right), \]

gdzie \(\sum R_+\) – suma rang dodatnich, \(\sum R_-\) – suma rang ujemnych. Statystyka ta podlega rozkładowi Wilcoxona i nie zawiera poprawki na rangi wiązane. Dla próby o dużej liczności:

\[ Z=\frac{T-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}, \]

gdzie \(n\) – liczba rangowanych znaków (liczba rang), \(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej. Wzór na statystykę \(Z\) zawiera poprawkę na rangi wiązane – stosowaną, gdy rangi wiązane występują (gdy ich nie ma, \(\frac{\sum t^3-\sum t}{48}=0\)). Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny. Poprawka na ciągłość testu Wilcoxona (Marascuilo and McSweeney (1977)[115]) – stosujemy ją, by zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu normalnego:

\[ Z=\frac{\left|T-\frac{n(n+1)}{4}\right|-0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}. \]

\(r\) wyliczamy ze wzoru \(r=\left|Z/n\right|\) [67], a d-Cohena:

\[ d=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}} \]

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena [46] wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.