Test U Manna-Whitneya

Kiedy stosować ten test:

Test U Manna-Whitneya (ang. Mann-Whitney U test) stosujemy, gdy porównujemy dwie niezależne grupy pod względem tej samej cechy, a dane nie spełniają założeń testu \(t\)-Studenta dla grup niezależnych (np. nie mają rozkładu normalnego). Sprawdzamy nim, czy wyniki w obu grupach się różnią (zakładając przy tym, że rozkłady zmiennej w obu grupach są sobie zbliżone – porównanie wariancji rang można sprawdzić testem dla rang Conovera).

Test znany jest również jako test Wilcoxona Manna-Whitneya (ang. Wilcoxon Mann-Whitney test), Mann i Whitney (1947)[111] oraz Wilcoxon (1949)[173].

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
model niezależny.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Mann-Whitney (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż zmienną grupującą (np. płeć) i zmienną wynikową (np. czas spędzany przed komputerem).

Krok 2. Uruchom analizę.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik komputer.pqs)
Wysunięto hipotezę, że na pewnej uczelni studenci matematyki spędzają statystycznie więcej czasu przed komputerem niż studentki matematyki. W celu weryfikacji tego przypuszczenia z populacji osób studiujących matematykę na tej uczelni wylosowano próbę liczącą 54 osoby (25 kobiet i 29 mężczyzn). Osoby te zapytano o to, jak dużo czasu dziennie spędzają przy komputerze (czas w godzinach) i otrzymano następujące wyniki: (czas, płeć): (2, k) (2, m) (2, m) (3, k) (3, k) (3, k) (3, k) (3, m) (3, m) (4, k) (4, k) (4, k) (4, k) (4, m) (4, m) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, k) (5, m) (5, m) (5, m) (5, m) (6, k) (6, k) (6, k) (6, k) (6, k) (6, m) (6, m) (6, m) (6, m) (6, m) (6, m) (6, m) (6, m) (7, k) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (7, m) (8, k) (8, m) (8, m).

\(p=0.0149\) (dokładna statystyka \(U\), istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Istnieją istotne statystycznie różnice pomiędzy studentkami a studentami matematyki w ilości czasu spędzanego przed komputerem – studentki spędzają mniej czasu przed komputerem niż studenci.

Wartość \(p\) wyznaczoną na podstawie statystyki testowej porównujemy zawsze z przyjętym poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), różnica jest istotna statystycznie; gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, by twierdzić, że grupy się różnią. Taką samą decyzję podjęlibyśmy na podstawie statystyki \(Z\) bez poprawki na ciągłość (\(p=0.0154\)) i z poprawką (\(p=0.0158\)). Różnice możemy opisać na podstawie mediany, kwartyli oraz wartości największej i najmniejszej, widocznych na wykresie typu ramka-wąsy, a także na podstawie tabeli liczności i procentów (którą uruchamiamy w oknie analizy, ustawiając statystyki opisowe ) lub wykresu kolumnowego. Warto dodatkowo zgłosić wielkość efektu (d-Cohena) – sama istotność statystyczna nie mówi, jak duża jest różnica.

Definicje miar

r (wielkość efektu) – miara siły efektu oparta na przekształceniu statystyki testowej \(Z\); przyjmuje wartości od 0 (brak efektu) do 1 (maksymalny efekt).

d-Cohena – standaryzowana miara wielkości efektu, wyliczana tu na podstawie \(r\) zgodnie ze standardową konwersją stosowaną przy meta-analizach. Pozwala ocenić praktyczne znaczenie różnicy niezależnie od liczności próby.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:
Hipotezy dotyczą równości średnich rang dla porównywanych populacji lub są upraszczane do median:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \phi_1=\phi_2,\\ \mathcal{H}_1: & \phi_1\neq\phi_2, \end{array}\)

gdzie \(\phi_1, \phi_2\) – rozkłady badanej zmiennej w pierwszej i drugiej populacji.

Wzory:
W zależności od wielkości próby statystyka testowa przyjmuje inną postać. Dla małej liczności próby:

\[ U=n_1n_2+\frac{n_1(n_1+1)}{2}-R_1, \]

lub

\[ U'=n_1n_2+\frac{n_2(n_2+1)}{2}-R_2, \]

gdzie \(n_1, n_2\) – liczności prób, \(R_1, R_2\) – sumy rang dla prób. Standardowo interpretacji podlega mniejsza z wartości \(U\) lub \(U'\). Statystyka ta podlega rozkładowi Manna-Whitneya i nie zawiera poprawki na rangi wiązane. Wartość dokładnego prawdopodobieństwa z rozkładu Manna-Whitneya wyliczana jest z dokładnością do części setnej ułamka. Dla próby o dużej liczności:

\[ Z=\frac{U-\frac{n_1n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1n_2(n1+n_2+1)}{12}-\frac{n_1n_2\sum (t^3-t)}{12(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}}}, \]

gdzie \(U\) można zastąpić przez \(U'\), \(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej. Wzór na statystykę \(Z\) zawiera poprawkę na rangi wiązane – stosowaną, gdy rangi wiązane występują (gdy ich nie ma, \(\frac{n_1n_2\sum (t^3-t)}{12(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}=0\)). Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny. Poprawka na ciągłość testu Manna-Whitneya (Marascuilo and McSweeney (1977)[115]) – stosujemy ją, by zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu normalnego:

\[ Z=\frac{\left|U-\frac{n_1n_2}{2}\right|-0.5}{\sqrt{\frac{n_1n_2(n1+n_2+1)}{12}-\frac{n_1n_2\sum (t^3-t)}{12(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}}}. \]

Wzory (miary efektu):
\(r\) wyliczamy ze wzoru \(r=\left|Z/(n_1+n_2)\right|\) [67], a d-Cohena:

\[ d=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}} \]

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena [46] wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.