Test wariancji rang Conovera

Kiedy stosować ten test:

Test kwadratów rang Conovera pozwala sprawdzić, czy rozproszenie (zróżnicowanie) badanej cechy jest podobne w kilku populacjach – podobnie jak test Fishera-Snedecora (dla dwóch populacji) czy testy Levene'a i Browna-Forsythe'a (dla co najmniej dwóch populacji). Jest ich nieparametrycznym odpowiednikiem: nie zakłada normalności rozkładu danych i opiera się na rangach[47]. Stosuje się go zwykle jako uzupełnienie ANOVA Kruskala-Wallisa, gdyż test ten bada zróżnicowanie danych (odległości od średniej), a nie ich poziom.

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) ANOVA Kruskala-Wallisa, opcja test wariancji rang Conovera, lub Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Mann-Whitney, opcja test wariancji rang Conovera.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik metodaOperacji.pqs)
Przygotowano chorych do operacji kręgosłupa. Chorzy będą operowani jedną z trzech metod. Dokonano wstępnego przydziału każdej osoby chorej do poszczególnych typów operacji. Na późniejszym etapie zamierzamy porównywać stan chorych po przebytych operacjach, dlatego zależy nam, by grupy chorych były porównywalne – powinny być podobne między innymi pod względem wysokości przestrzeni międzytrzonowej (WPMT) przed operacją. Podobieństwo powinno dotyczyć nie tylko wartości przeciętnych, ale również zróżnicowania grup.

Sprawdzono rozkład danych.

Okazuje się, że dla dwóch metod operacji WPMT wykazuje odstępstwa od normalności, spowodowane w dużej mierze skośnością danych. Dalszą analizę porównawczą przeprowadzimy przy pomocy testu Kruskala-Wallisa, by sprawdzić, czy poziom WPMT różni się pomiędzy metodami, oraz testu Conovera, który wskaże, czy w każdej metodzie rozpiętość wyników WPMT jest podobna.

\(p=0.0022\) dla testu wariancji Conovera (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\)), \(p=0.2057\) dla testu Kruskala-Wallisa (nieistotne statystycznie)

Zakresy WPMT różnią się istotnie między metodami operacji, natomiast poziom WPMT – nie.

Najpierw interpretacji podlega wynik testu wariancji Conovera, który wskazuje na istotne statystycznie różnice w zakresach porównywanych grup. Z wykresu możemy wnioskować, że różnice dotyczą głównie grupy 3. Ponieważ wykryto różnice w zakresie WPMT, interpretacja wyniku testu Kruskala-Wallisa (porównującego poziom WPMT dla tych metod) powinna być ostrożna, gdyż test ten jest wrażliwy na niejednorodność wariancji. Mimo że test Kruskala-Wallisa nie wykazał istotnych różnic, zaleca się, by chorych o niskich wartościach WPMT (przypisanych głównie do operacji metodą B) rozmieścić bardziej równomiernie, tzn. sprawdzić, czy nie można im zaproponować operacji metodą A lub C. Po ponownym przydziale chorych analizę należy powtórzyć.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \text{rozproszenie danych w porównywanych populacjach jest takie samo, }\\ \mathcal{H}_1: & \text{przynajmniej dwie populacje różnią się wielkością rozproszenia danych}. \end{array}\]

Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\frac{1}{D^2}\left(\sum_{j=1}^k\frac{S_j^2}{n_j}-N\overline{S}^2\right) \]

gdzie:
\(N=n_1+n_2+...+n_k\),
\(n_j\) – liczność w poszczególnych grupach,
\(S_j\) – suma kwadratów rang w \(j\)-tej grupie,
\(\overline{S}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^kS_j\) – średnia wszystkich kwadratów rang,
\(D^2=\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=1}^NR_i^4-N\overline{S}^2\right)\),
\(R_i\) – rangi dla wartości przedstawiających odległość pomiaru od średniej danej grupy.

Statystyka ta ma rozkład \(\chi^2\) z \(k-1\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).