ANOVA Durbina (brakujących danych)

Kiedy stosować ten test:

Analiza wariancji powtarzanych pomiarów dla rang Durbina (Durbin, 1951[53]) stosuje się w tej samej sytuacji, co ANOVA Friedmana – gdy pomiarów badanej zmiennej dokonujemy kilkukrotnie na tych samych obiektach. Test Durbina ma jednak przewagę: można go wyliczać również dla niekompletnego zestawu danych, o ile braki tworzą tzw. zbalansowany i niekompletny blok (każdy obiekt ma tę samą liczbę pomiarów, a każda para pomiarów występuje wspólnie tak samo często).

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
model zależny,
braki danych (jeśli występują) tworzą zbalansowany i niekompletny blok: każdy obiekt ma tę samą liczbę \(k\) pomiarów, każdy pomiar dotyczy tej samej liczby \(r\) obiektów, a liczba obiektów, dla których jednocześnie wykonano tę samą parę pomiarów, jest stała.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) ANOVA Friedmana (możliwość braków danych).

Krok 1. Wskaż zmienne odpowiadające kolejnym pomiarom.

Krok 2. Zaznacz opcję Akceptuj braki danych, jeśli w danych występują braki.

Krok 3. Jeśli test wykaże istotną różnicę, dobierz test POST-HOC Conover-Inman.

Krok 4. Uruchom analizę.

Uwaga! By rekordy, w których występują braki danych, były brane pod uwagę, wymagane jest zaznaczenie opcji Akceptuj braki danych. Jako braki danych traktowane są puste komórki oraz komórki o wartościach nieliczbowych. W analizie biorą udział tylko rekordy zawierające więcej niż jedną wartość liczbową.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik mirror.pqs)
Przeprowadzono eksperyment wśród 20 pacjentów szpitala psychiatrycznego (Ogilvie, 1965[128]), polegający na odrysowaniu linii prostych według zaprezentowanego wzoru, przedstawiającego 5 linii rysowanych pod różnym kątem (\(0^o\), \(22.5^o\), \(45^o\), \(67.5^o\), \(90^o\)) względem wskazanego środka – zadaniem pacjentów było odwzorowanie linii mając zasłoniętą dłoń, a wynikiem był czas kreślenia danej linii. Ze względu na zmęczenie i ograniczoną chęć współpracy pacjentów, projekt zaplanowano w zbalansowanym i niekompletnym bloku: każdy z 20 pacjentów rysował linię pod dwoma z pięciu możliwych kątów, dzięki czemu każdy kąt wyrysowywano ośmiokrotnie. Chcemy sprawdzić, czy czas poświęcony na wyrysowanie poszczególnych linii jest zupełnie losowy, czy też są linie, których wyrysowywanie zajmuje więcej lub mniej czasu. Czas (w sekundach), w jakim każdy pacjent wyrysowywał linię pod zadanym kątem, zapisano w tabeli.

nr pacjenta	\(0^o\)	\(22.5^o\)	\(45^o\)	\(67.5^o\)	\(90^o\)
1	7	15
2	20		72
3	8			26
4	33				36
5	7	16
6		68	67
7		33		64
8		34			12
9	10		96
10		29	59
11			17	9
12			100		15
13	16			32
14		19		32
15			36	39
16				44	54
17	16				38
18		17			12
19			37		11
20				56	6

\(p=0.014541\) dla statystyki \(T_2\) (lub \(p=0.034203\) dla \(T_1\)), istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\)

Czas poświęcony na wyrysowanie poszczególnych linii nie jest taki sam.

Wykonana analiza POST-HOC wskazuje na różnice czasu poświęconego na narysowanie linii pod kątem \(0^o\) – jest ona rysowana szybciej niż linie pod kątem \(22.5^o\), \(45^o\) oraz \(67.5^o\).

Na wykresie zaznaczono grupy jednorodne wskazane przez test POST-HOC.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy: dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów (\(R_j\)) lub są upraszczane do median (\(\theta_j\)):

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_1=\theta_2=...=\theta_t,\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\theta_j\text{ są sobie równe }(j=1,2,...,t), \end{array}\]

gdzie \(t\) – łączna liczba rozpatrywanych pomiarów, \(b\) – łączna liczba badanych obiektów.

Wzory: wyznacza się dwie statystyki testowe:

\[ T_1=\frac{(t-1)\left[\sum_{j=1}^tR_j^2-tC\right]}{A-C}, \]

\[ T_2=\frac{T_1/(t-1)}{(b(k-1)-T_1)/(bk-b-t+1)}, \]

gdzie:
\(R_{j}\) – suma rang dla kolejnych pomiarów \((j=1,2,...t)\),
\(R_{ij}\) – rangi przypisane kolejnym pomiarom, oddzielnie dla każdego z badanych obiektów \((i=1,2,...b)\),
\(\displaystyle A=\sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^tR_{ij}^2\) – suma kwadratów dla rang,
\(\displaystyle C=\frac{bk(k+1)^2}{4}\) – współczynnik korekcji. Wzór na statystykę \(T_1\) i \(T_2\) zawiera poprawkę na rangi wiązane.

W przypadku danych kompletnych statystyka \(T_1\) jest tożsama z testem Friedmana i ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z \(df=t-1\) stopniami swobody. Statystyka \(T_2\) to odpowiednik korekty Iman-Davenport ANOVA Friedmana, podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_1=t-1\) i \(df_2=bk-b-t+1\) stopniami swobody – uznaje się ją obecnie za bardziej precyzyjną niż statystykę \(T_1\) i rekomenduje jej stosowanie[47].

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Testy POST-HOC

Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC znajduje się w rozdziale Kontrasty i testy POST-HOC dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji.

Test Conover-Inman
Stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama).

\(\mathfrak{(i)}\)
Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

\[ NIR=t_{1-\alpha /2, bk-b-t+1}\sqrt{\frac{(A-C)2r}{bk-b-t+1}\left(1-\frac{T_1}{b(k-1)}\right)}, \]

gdzie \(t_{1-\alpha /2, bk-b-t+1}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu \(t\)-Studenta dla poziomu istotności \(\alpha\) i \(df=bk-b-t+1\) stopni swobody.
\(\mathfrak{(ii)}\)
Statystyka testowa ma postać:

\[ t=\frac{\sum_{j=1}^k c_jR_j}{\sqrt{\frac{(A-C)2r}{bk-b-t+1}\left(1-\frac{T_1}{b(k-1)}\right)}}. \]

Statystyka ta podlega rozkładowi \(t\)-Studenta z \(df=bk-b-t+1\) stopniami swobody.