Test chi-kwadrat dla wielowymiarowych tabel kontyngencji

Kiedy stosować ten test:

Test \(\chi^2\) dla wielowymiarowych tabel kontyngencji (ang. Chi-square test for multidimensional contingency tables) stosujemy, gdy chcemy sprawdzić zależność pomiędzy więcej niż dwiema cechami naraz – jest to rozszerzenie testu \(\chi^2\) dla tabel (\(R\times C\)) na trzy i więcej cech.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej – ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
model niezależny,
duże liczności oczekiwane według interpretacji Cochrana (1952)[41].

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne (kat. nieuporządkowane) \(\to\) chi-kwadrat (wielowymiarowy) (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż wszystkie badane cechy (trzy lub więcej).

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Test ten jest możliwy do wyliczenia tylko na podstawie danych surowych.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik choroba_serca.pqs)
Zbadano próbę 200 osób pod kątem trzech cech: płci (\(X_1\): K, M), palenia papierosów (\(X_2\): tak, nie) oraz występowania choroby serca (\(X_3\): tak, nie). Celem badania było sprawdzenie, czy pomiędzy tymi trzema cechami w badanej populacji istnieje zależność.

\(\chi^2=52.382342\), \(df=4\), \(p<0.000001\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W badanej populacji istnieje istotna statystycznie zależność pomiędzy płcią, paleniem papierosów a występowaniem choroby serca.

Liczności oczekiwane widoczne w oknie danych są wystarczająco duże (warunek Cochrana spełniony), więc wynik testu jest wiarygodny. Porównanie liczności obserwowanych z oczekiwanymi pokazuje, gdzie zależność jest najsilniejsza: wśród palących mężczyzn choroba serca występuje znacznie częściej, niż wynikałoby z braku zależności (25 obserwowanych przypadków wobec 8,76 oczekiwanych) \(-\) niemal trzykrotnie częściej niż oczekiwano. Odwrotną sytuację widać u niepalących mężczyzn: choroba serca występuje u nich znacznie rzadziej, niż wynikałoby z braku zależności (4 obserwowane przypadki wobec 15,25 oczekiwanych). U kobiet odchylenia liczności obserwowanych od oczekiwanych są wyraźnie mniejsze. Zależność dotyczy więc przede wszystkim mężczyzn – to u nich palenie papierosów wiąże się z wyraźnie podwyższonym ryzykiem choroby serca.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & O_{ij...}=E_{ij...} \text{ dla wszystkich kategorii,}\\ \mathcal{H}_1: & O_{ij...} \neq E_{ij...} \text{ dla przynajmniej jednej kategorii,} \end{array} \]

gdzie \(O_{ij...}\) i \(E_{ij...}\) to liczności obserwowane w tabeli kontyngencji i odpowiadające im liczności oczekiwane.

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c\sum...\sum\frac{(O_{ij...}-E_{ij...})^2}{E_{ij...}}. \]

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody wyznaczaną, dla tabeli o 3 wymiarach, według wzoru:

\[ df = (r - l)(c - 1)(l - 1) + (r- l)(c- 1) + (r- 1)(l- 1) + (c- 1)(l- 1). \]