ESTYMACJA JĄDROWA

Jednowymiarowy estymator jądrowy

Kiedy stosować:

Jednowymiarowy jądrowy estymator gęstości pozwala przybliżyć kształt rozkładu danych za pomocą wygładzonej krzywej, budowanej w sposób nieparametryczny (bez zakładania konkretnej postaci rozkładu). Jest to alternatywa dla tradycyjnego histogramu – tam, gdzie histogram przedstawia rozkład za pomocą schodkowych słupków (co zależy od arbitralnie wybranej szerokości przedziałów), estymator jądrowy daje gładką, ciągłą krzywą, dzięki czemu lepiej oddaje faktyczny kształt rozkładu.

Dla każdego punktu \(x\) z zakresu danych wyznaczana jest wartość estymatora, czyli lokalna gęstość w tym punkcie. Powstaje ona przez zsumowanie wartości funkcji jąder \(K_h(t_i)\) zbudowanych wokół poszczególnych obserwacji:

Jeśli poszczególnym przypadkom nadamy wagi \(w_i\), można zbudować ważony jądrowy estymator gęstości, definiowany wzorem:

Definicje miar

Na kształt uzyskanej krzywej wpływają dwa elementy: dobór współczynnika wygładzania oraz wybór funkcji jądra.

Współczynnik wygładzania (\(h\)) (ang. bandwidth) decyduje o stopniu wygładzenia krzywej – im wyższa jego wartość, tym mocniej wygładzony (bardziej „spłaszczony”) jest uzyskany estymator. Współczynnik ten może być ustalony na kilka sposobów:

Użytkownika

– dowolna, dodatnia wartość współczynnika wygładzania wskazana samodzielnie przez użytkownika.

Użytkownika skalowane

– wartość ustalana tak, by przy zmianie funkcji jądra zachować podobny poziom wygładzenia, jaki wybrano wcześniej dla jądra Gaussa. Dzięki przeskalowaniu współczynnika (Scott, D. W. 1992[149]) można wygodnie przełączać się między różnymi jądrami bez ponownego dobierania wygładzenia. Przeliczenia oparte są na odchyleniu standardowym:

\[ h_2=\frac{\sigma(K_{h_1})}{\sigma(K_{h_2})}h_1 \]

SNR

– współczynnik wyznaczany automatycznie metodą Silverman'a (Silverman B. W. 1986[154] str. 45 i 47) z korektą Jones'a (Jones M. C. i inni 1996[89]), wykorzystującą odchylenie standardowe z próby (a nie z populacji), zgodnie z propozycją Silvermana:

\[ h_{SNR}=1.06sd\cdot n^{1/5} \]

Dla jądra innego niż Gaussa współczynnik wygładzania podlega dodatkowo skalowaniu (Scott D. W., 1992[149]).

SROT

– współczynnik wyznaczany automatycznie metodą Silverman'a (Silverman B. W. 1986[154] str. 48) z korektą Jones'a (Jones M. C. i inni 1996[89]):

\[ h_{SROT}=0.9\min\left(sd, \frac{IQR}{1.34}\right) n^{1/5} \]

Dla jądra innego niż Gaussa współczynnik wygładzania podlega dodatkowo skalowaniu (Scott D. W., 1992[149]).

OS

– współczynnik wyznaczany automatycznie metodą Terrell'a i Scott'a (Terrell G. R. i Scott D. W. 1985[163], Terrell G. R. 1990[162] str. 470):

\[ h_{OS}=1.144sd\cdot n^{1/5} \]

Dla jądra innego niż Gaussa współczynnik wygładzania podlega dodatkowo skalowaniu (Scott D. W., 1992[149]).

Funkcja jądra ma mniejszy wpływ na wynik niż współczynnik wygładzania, ale również kształtuje uzyskany estymator. Jądro jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa budowaną wokół każdego punktu danych \(x_i\) – zwykle jest to funkcja symetryczna, osiągająca maksimum w punkcie \(x_i\) i malejąca wraz ze wzrostem odległości \(d_i\) od tego punktu. Odległość od analizowanego punktu jest modyfikowana przez współczynnik wygładzania \(h\) zgodnie ze wzorem \(t_i=\frac{d_i}{h}\). W zależności od potrzeb funkcja jądra może przyjmować postać funkcji Gaussa, jednostajnej (prostokąt), trójkątnej, Epanechnikova lub quartic/biweight (czwartego stopnia) – dokładne wzory znajdują się w części „Dla zainteresowanych”.

Jak ustawić analizę

Jądrowy estymator gęstości dostępny jest jako opcja graficzna, wykorzystywana przy okazji wielu różnych analiz opisujących rozkład zmiennej (m.in. przy tworzeniu histogramu). W oknie ustawień takiego wykresu można wybrać funkcję jądra oraz sposób dobrania współczynnika wygładzania (wartość użytkownika, wartość użytkownika skalowana lub jedną z automatycznych metod: SNR, SROT, OS).

Wykonanie i interpretacja