Test chi-kwadrat wariancji pojedynczej próby

Kiedy stosować ten test:

Test \(\chi^2\) wariancji pojedynczej próby (ang. The Single-Sample Chi-square Test for a Population Variance) służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba pochodzi z populacji, dla której wariancja (lub odchylenie standardowe \(\sigma\)) to zadana wartość. Hipotezy mogą dotyczyć zarówno wariancji, jak i równoważnie odchylenia standardowego.

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu badanej cechy.

Uwaga! Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych, tzn. odchyleniu standardowym i liczności próby.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy parametryczne \(\to\) Chi-kwadrat dla wariancji.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik dozownik.pqs)
Przed przystąpieniem do produkcji kolejnej partii pewnego syropu przeciwkaszlowego dokonano kontrolnych pomiarów objętości syropu nalewanego do butelek. Z dokumentacji technicznej urządzenia dozującego wynika, że dopuszczalny rozrzut objętości syropu mierzony za pomocą odchylenia standardowego wynosi 1 ml. Należy sprawdzić, czy testowane urządzenie działa prawidłowo.

Sprawdzono (testem Lillieforsa) normalność rozkładu objętości syropu nalewanego do butelek, uzyskując wynik zgodny z tym rozkładem. Analiza dotycząca odchylenia standardowego może być więc przeprowadzona testem chi-kwadrat dla wariancji.

\(p=0.000001\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Rozrzut urządzenia dozującego jest inny niż 1 ml.

Działanie urządzenia możemy jednak uznać za prawidłowe, ponieważ odchylenie standardowe w próbie wynosi 0.76 i jest istotnie mniejsze niż dopuszczalna wartość wynikająca z dokumentacji technicznej.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\(\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \sigma=\sigma_0,\\ \mathcal{H}_1: & \sigma\ne \sigma_0, \end{array}\)

gdzie:
\(\sigma\) – odchylenie cechy w populacji reprezentowanej przez próbę,
\(\sigma_0\) – zadana wartość.

Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\frac{(n-1)sd^2}{\sigma_0^2}, \]

gdzie:
\(sd\) – odchylenie standardowe z próby,
\(n\) – liczność próby.

Interpretacja: Statystyka ta ma rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody wyznaczaną według wzoru \(df=n-1\).

Wyznaczoną na podstawie wartości statystyki i rozkładu \(\chi^2\) wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Przy czym, jeśli wartość odchylenia standardowego jest mniejsza niż wartość zadana, wartość \(p\) wyliczana jest jako podwojona wartość pola pod krzywą rozkładu chi-kwadrat na lewo od odpowiedniej wartości krytycznej, a jeśli jest większa niż wartość zadana – jako podwojona wartość odpowiedniego pola po prawej stronie.