PQStat Podręcznik Użytkownika PQStat English pqstat.pl

Metoda Mantela-Haenszela dla wielu tabel \(2\)x\(2\)

Kiedy stosować:

Metoda Mantela-Haenszela dla tabel \(2\times2\) (ang. Mantel-Haenszel method for \(2\times2\) tables), zaproponowana przez Mantela i Haenszela (1959)[112] a następnie rozszerzona przez Mantela (1963)[113] (szerszy przegląd rozwoju tych metod przeprowadził m.in. Newman (2001)[126]), może być używana m.in. do analizy tabel \(2\times2\) występujących w kilku (\(w\geq2\)) warstwach tworzonych przez tzw. zmienną uwikłaną (ang. confounding). Dla kolejnych warstw (\(s=1,...,w\)) budowane są tabele kontyngencji \(2\times2\) liczności obserwowanych:

Liczności obserwowanebadane zjawisko
\(s\)-tej warstwy \(\left(O_{ij}^{(s)}\right)\)występujenie występujeSuma
czynnik ryzykawystępuje\(O_{11}^{(s)}\)\(O_{12}^{(s)}\)\(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\)
nie występuje\(O_{21}^{(s)}\)\(O_{22}^{(s)}\)\(O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\)
Suma\(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}\)\(O_{12}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\)\(n^{(s)}=O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}+O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\)

Jak ustawić analizę

Okno z ustawieniami opcji metod Mantel\(-\)Haenszel OR/RR wywołujemy poprzez menu Statystyka\(\to\)Analiza dla warstw\(\to\)Mantel\(-\)Haenszel OR/RR.

Iloraz szans Mantela-Haenszela

Kiedy stosować:

Jeśli wszystkie tabele (tworzone przez poszczególne warstwy) są homogeniczne, na podstawie tych tabel można wyznaczyć wspólny iloraz szans wraz z przedziałami ufności. Taki iloraz szans jest średnią ważoną ilorazów szans wyznaczonych dla poszczególnych warstw. Zastosowanie ważonej metody zaproponowanej przez Mantela i Haenszela pozwala uwzględnić wkład (wagę), jaki do budowy wspólnego ilorazu szans wnosi każda warstwa (im bardziej liczna warstwa, tym większy ma wpływ na powstały iloraz szans).

Wyznaczonemu w ten sposób ilorazowi szans towarzyszą dwa testy istotności. Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela dla \(OR_{MH}\) sprawdza, czy wspólny iloraz szans istotnie różni się od 1, czyli czy w ogóle istnieje zależność między badanymi cechami po uwzględnieniu warstw. Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(OR\) sprawdza z kolei założenie leżące u podstaw całej metody – czy iloraz szans jest rzeczywiście zbliżony we wszystkich warstwach, czy też zmienna tworząca warstwy istotnie modyfikuje siłę zależności (wówczas łączenie warstw w jeden wspólny iloraz szans byłoby nieuprawnione).

Definicje miar

Iloraz szans Mantela-Haenszela – ważona średnia ilorazów szans wyznaczonych dla poszczególnych warstw, uwzględniająca liczność każdej warstwy.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik leptospiroza.pqs)
Przedstawiona tabela pokazuje hipotetyczne wyniki ankiety przeprowadzonej w celu wykrycia czynników ryzyka występowania leptospirozy wśród mieszkańców miasta i wsi Zachodnich Indii (gdzie obszar wiejski traktowany jest jako czynnik narażenia)[20]. Występowanie przeciwciał leptospirozy jest pośrednim dowodem na obecność zakażenia.

Liczności obserwowaneprzeciwciała leptospirozy
\(O_{ij}\)taknie
miejsce zamieszkaniawieś60140
miasto60140

Szansa wystąpienia przeciwciał leptospirozy mieszkańców miasta i wsi jest taka sama (OR=1). Chcemy wiedzieć, jaka będzie szansa wystąpienia przeciwciał leptospirozy, gdy w analizie weźmiemy pod uwagę również płeć. Podzielimy więc próbę na 2 warstwy ze względu na płeć (są one zapamiętane w pliku jako zaznaczony zakres):

Liczności obserwowaneprzeciwciała leptospirozy
dla mężczyzntaknie
miejsce zamieszkaniawieś3614
miasto5050
Liczności obserwowaneprzeciwciała leptospirozy
dla kobiettaknie
miejsce zamieszkaniawieś24126
miasto1090

Płeć jest powiązana z obydwoma czynnikami (z występowaniem przeciwciał leptospirozy i z miejscem zamieszkania w Zachodnich Indiach). Jest to czynnik wikłający, którego zignorowanie może prowadzić do błędnych wyników.

\(OR_{MH}\)[95%CI]=2.13[1.24, 3.65], test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela: \(p=0.005169\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))
Szansa wystąpienia przeciwciał leptospirozy jest istotnie większa dla osób zamieszkujących tereny wiejskie.


Zanim odczytamy wspólny iloraz szans, sprawdzamy test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(OR\) – tabele są homogeniczne (\(p=0.465049\)), a więc łączenie warstw w jeden wspólny iloraz szans jest uprawnione. Szansa wystąpienia przeciwciał leptospirozy jest większa dla mieszkańców wsi, zarówno dla kobiet (OR[95%CI]=2.57[1.24, 5.34]), jak i dla mężczyzn (OR[95%CI]=1.71[0.78, 3.76]). Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela potwierdza, że tak wyznaczony wspólny iloraz szans jest istotny statystycznie.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Wzory:
Wagi dla każdej warstwy wyznacza się zgodnie z wzorem:

\[ g^{(s)}=\frac{O_{21}^{(s)}\cdot O_{12}^{(s)}}{n^{(s)}}, \]

a iloraz szans Mantela-Haenszela:

\[ OR_{MH}=\frac{R}{S}, \]

gdzie:
\(\displaystyle R=\sum_{s=1}^w\frac{O_{11}^{(s)}\cdot O_{22}^{(s)}}{n^{(s)}}\),
\(\displaystyle S=\sum_{s=1}^wg^{(s)}\).

Przedział ufności dla \(\log OR_{MH}\) wyznacza się na podstawie błędu standardowego (RGB – Robins-Breslow-Greenland[137][138]) wyliczonego ze wzoru:

\[ SE_{MH}=\sqrt{\frac{T}{2R^2}+\frac{U+Y}{2RS}+\frac{W}{2S^2}}, \]

gdzie:
\(\displaystyle T=\sum_{s=1}^wT^{(s)}\),   \(\displaystyle T^{(s)}=\frac{O_{11}^{(s)}\cdot O_{22}^{(s)}\cdot \left(O_{11}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2}\),
\(\displaystyle U=\sum_{s=1}^wU^{(s)}\),   \(\displaystyle U^{(s)}=\frac{O_{21}^{(s)}\cdot O_{12}^{(s)}\cdot \left(O_{11}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2}\),
\(\displaystyle Y=\sum_{s=1}^wY^{(s)}\),   \(\displaystyle Y^{(s)}=\frac{O_{11}^{(s)}\cdot O_{22}^{(s)}\cdot \left(O_{21}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2}\),
\(\displaystyle W=\sum_{s=1}^wW^{(s)}\),   \(\displaystyle W^{(s)}=\frac{O_{21}^{(s)}\cdot O_{12}^{(s)}\cdot \left(O_{21}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2}\).

Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela dla \(OR_{MH}\)
Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela (ang. Mantel-Haenszel Chi-square test) służy do weryfikacji hipotezy o istotności wyznaczonego ilorazu szans (\(OR_{MH}\)) i powinien być wyliczany przy dużych licznościach, tzn. gdy są spełnione obydwa warunki tzw. „reguły 5”:

  • \(\min(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)},O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)})-\sum_{s=1}^wE_{11}^{(s)}\ge5\) dla wszystkich warstw \(s=1,2,...,w\),
  • \(\max(0,O_{11}^{(s)}-O_{22}^{(s)})\ge5\) dla wszystkich warstw \(s=1,2,...,w\).

Kiedy w tabeli występują wartości zerowe, stosowana jest korekta na ciągłość (powiększenie liczności o 0,5), zarówno dla liczności obserwowanych, jak i dla liczności oczekiwanych.

Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & OR_{MH} = 1, \\ \mathcal{H}_1: & OR_{MH} \ne 1. \end{array}\)

Wzory:
Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2_{MH}=\frac{\left(\sum_{s=1}^wO_{11}^{(s)}-\sum_{s=1}^wE_{11}^{(s)}\right)^2}{V}, \]

gdzie:
\(\displaystyle E_{11}^{(s)}=\frac{\left(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}\right)\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}{n^{(s)}}\) to wartości oczekiwane w pierwszej komórce tabeli kontyngencji dla poszczególnych warstw \(s=1,2,...,w\),
\(\displaystyle V=\sum_{s=1}^wV^{(s)}\),
\(\displaystyle V^{(s)}=\frac{\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)\left(O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)\left(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}\right)\left(O_{12}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2\left(n^{(s)}-1\right)}\).

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z jednym stopniem swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(OR\)
Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(OR\) (ang. Chi-square test of homogeneity for \(OR\)) służy do weryfikacji hipotezy, że zmienna tworząca warstwy jest efektem modyfikującym, tzn. wpływa ona na wyznaczany iloraz szans w taki sposób, że jest on znacząco inny dla poszczególnych warstw.

Hipotezy:

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & OR_{MH} = OR^{(s)}, \text{ dla wszystkich warstw }s=1,2,...,w\text{,} \\ \mathcal{H}_1: & OR_{MH} \ne OR^{(s)}, \text{ dla przynajmniej jednej warstwy.} \end{array}\]

Wzory:
Statystyka testowa (Breslow-Day (1980)[26], Tarone (1985)[27][160]) ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{s=1}^w\frac{\left(O_{11}^{(s)}-E^{(s)}\right)^2}{Var^{(s)}}-\frac{\left(\sum_{s=1}^wO_{11}^{(s)}-\sum_{s=1}^wE^{(s)}\right)^2}{\sum_{s=1}^wVar^{(s)}} \]

gdzie \(E^{(s)}\) jest rozwiązaniem równania kwadratowego:
\(\displaystyle\frac{E^{(s)}\left(O_{22}^{(s)}-O_{11}^{(s)}+E^{(s)}\right)}{\left(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}-E^{(s)}\right)\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}-E^{(s)}\right)}=OR_{MH}\),
\(Var^{(s)}=\left(\frac{1}{E^{(s)}}+\frac{1}{O_{22}^{(s)}-O_{11}^{(s)}+E^{(s)}}+\frac{1}{O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}-E^{(s)}}+\frac{1}{O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}-E^{(s)}}\right)^{-1}\).

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody \(df=w-1\).

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Relatywne ryzyko Mantela-Haenszela

Kiedy stosować:

Jeśli wszystkie tabele (tworzone przez poszczególne warstwy) są homogeniczne, na podstawie tych tabel można wyznaczyć wspólne relatywne ryzyko wraz z przedziałami ufności. Takie relatywne ryzyko jest średnią ważoną wartości relatywnego ryzyka wyznaczonego dla poszczególnych warstw, z uwzględnieniem wkładu (wagi), jaki do budowy wspólnego relatywnego ryzyka wnosi każda warstwa.

Podobnie jak w przypadku ilorazu szans, wyznaczonemu w ten sposób relatywnemu ryzyku towarzyszą dwa testy istotności. Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela dla \(RR_{MH}\) sprawdza, czy wspólne relatywne ryzyko istotnie różni się od 1. Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(RR\) sprawdza z kolei, czy relatywne ryzyko jest zbliżone we wszystkich warstwach, czy też zmienna tworząca warstwy istotnie modyfikuje jego wartość (wówczas łączenie warstw w jedno wspólne relatywne ryzyko byłoby nieuprawnione).

Definicje miar

Relatywne ryzyko Mantela-Haenszela – ważona średnia wartości relatywnego ryzyka wyznaczonych dla poszczególnych warstw, uwzględniająca liczność każdej warstwy.

Wykonanie i interpretacja

Wykonanie i interpretacja są analogiczne do ilorazu szans Mantela-Haenszela – patrz Przykład 1 powyżej: przed odczytaniem wspólnego relatywnego ryzyka sprawdzamy test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(RR\), a jego istotność statystyczną potwierdzamy testem \(\chi^2\) Mantela-Haenszela dla \(RR_{MH}\).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Wzory:
Wagi dla każdej warstwy wyznacza się zgodnie z wzorem:

\[ g^{(s)}=\frac{O_{21}^{(s)}\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}{n^{(s)}}, \]

a relatywne ryzyko Mantela-Haenszela:

\[ RR_{MH}=\frac{R}{S}, \]

gdzie:
\(\displaystyle R=\sum_{s=1}^w\frac{O_{11}^{(s)}\left(O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)}{n^{(s)}}\),
\(\displaystyle S=\sum_{s=1}^wg^{(s)}\).

Przedział ufności dla \(\log RR_{MH}\) wyznacza się na podstawie błędu standardowego wyliczonego ze wzoru:

\[ SE_{MH}=\sqrt{\frac{V}{RS}}, \]

gdzie:
\(\displaystyle V=\sum_{s=1}^wV^{(s)}\),
\(\displaystyle V^{(s)}=\frac{\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)\left(O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)\left(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}\right)-\left(O_{11}^{(s)}*O_{21}^{(s)}*n^{(s)}\right)}{\left(n^{(s)}\right)^2}\).

Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela dla \(RR_{MH}\)
Test \(\chi^2\) Mantela-Haenszela (ang. Mantel-Haenszel Chi-square test) służy do weryfikacji hipotezy o istotności wyznaczonego relatywnego ryzyka (\(RR_{MH}\)) i powinien być wyliczany przy dużych licznościach w tabeli kontyngencji.

Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & RR_{MH} = 1, \\ \mathcal{H}_1: & RR_{MH} \ne 1. \end{array}\)

Wzory:
Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2_{MH}=\frac{\left(\sum_{s=1}^wO_{11}^{(s)}-\sum_{s=1}^wE_{11}^{(s)}\right)^2}{V}, \]

gdzie \(E_{11}^{(s)}=\frac{\left(O_{11}^{(s)}+O_{21}^{(s)}\right)\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}{n^{(s)}}\) to wartości oczekiwane w pierwszej komórce tabeli kontyngencji dla poszczególnych warstw \(s=1,2,...,w\).

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z jednym stopniem swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(RR\)
Test \(\chi^2\) homogeniczności dla \(RR\) (ang. Chi-square test of homogeneity for \(RR\)) służy do weryfikacji hipotezy, że zmienna tworząca warstwy jest efektem modyfikującym, tzn. wpływa ona na wyznaczane relatywne ryzyko w taki sposób, że jest ono znacząco inne dla poszczególnych warstw.

Hipotezy:

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & RR_{MH} = RR^{(s)}, \text{ dla wszystkich warstw }s=1,2,...,w\text{,} \\ \mathcal{H}_1: & RR_{MH} \ne RR^{(s)}, \text{ dla przynajmniej jednej warstwy.} \end{array}\]

Wzory:
Statystyka testowa oparta o ważoną metodę najmniejszych kwadratów ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{s=1}^w v^{(s)}\left(\ln(RR^{(s)})-\ln(RR_{MH})\right)^2 \]

gdzie:
\(v^{(s)}=\left(\frac{O_{12}^{(s)}}{O_{11}^{(s)}\left(O_{11}^{(s)}+O_{12}^{(s)}\right)}+\frac{O_{22}^{(s)}}{O_{21}^{(s)}\left(O_{21}^{(s)}+O_{22}^{(s)}\right)}\right)^{-1}\).

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody \(df=w-1\).

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).