Hipotezy:

gdzie \(\mu_1\),\(\mu_2\),...,\(\mu_k\) – średnie badanej zmiennej w populacjach, z których pobrano próby.

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

gdzie:
\(\displaystyle MS_{BG} = \frac{SS_{BG}}{df_{BG}}\) – średnia kwadratów między grupami,
\(\displaystyle MS_{WG} = \frac{SS_{WG}}{df_{WG}}\) – średnia kwadratów wewnątrz grup,
\(\displaystyle SS_{BG} = \sum_{j=1}^k{\frac{\left(\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}\right)^2}{n_j}}-\frac{\left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}}\right)^2}{N}\) – suma kwadratów między grupami,
\(\displaystyle SS_{WG} = SS_{T}-SS_{BG}\) – suma kwadratów wewnątrz grup,
\(\displaystyle SS_{T} = \left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}^2}\right)-\frac{\left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}}\right)^2}{N}\) – całkowita suma kwadratów,
\(df_{BG}=k-1\) – stopnie swobody (między grupami),
\(df_{WG}=df_{T}-df_{BG}\) – stopnie swobody (wewnątrz grup),
\(df_{T}=N-1\) – całkowite stopnie swobody,
\(N=\sum_{j=1}^k n_j\),
\(n_j\) – liczności prób dla \((j=1,2,...k)\),
\(x_{ij}\) – wartości zmiennej w próbach dla \((i=1,2,...n_j)\), \((j=1,2,...k)\).

Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_{BG}\) i \(df_{WG}\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Cząstkowa \(\eta^2\)

Wzory:

Liczba wszystkich możliwych porównań prostych wyliczana jest z wzoru:

Kontrasty

Porównania w ramach kontrastów i testów POST-HOC zapisuje się w postaci hipotez.

Przykład 1 – porównania proste (porównanie pomiędzy sobą 2 wybranych średnich):

Przykład 2 – porównania złożone (porównanie kombinacji wybranych średnich):

By można było zdefiniować wybrane hipotezy, należy dla każdej średniej przypisać wartość kontrastu \(c_j\), \((j=1,2,...k)\). Wartości \(c_j\) są tak wybierane, by ich sumy dla porównywanych stron były liczbami przeciwnymi, a ich wartość dla średnich nie biorących udziału w analizie wynosiła 0.

• Przykład 1: \(c_1=1\), \(c_2=-1\), \(c_3=0, ...c_k=0\).
• Przykład 2: \(c_1=2\), \(c_2=-1\), \(c_3=-1\), \(c_4=0\),..., \(c_k=0\).

Wyboru właściwej hipotezy możemy dokonać:

• \(\mathfrak{(i)}\) Porównując różnicę wybranych średnich z najmniejszą istotną różnicą (NIR) wyznaczoną odpowiednim testem POST-HOC: gdy różnica średnich \(\ge NIR\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy różnica średnich \(< NIR\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).
• \(\mathfrak{(ii)}\) Porównując wyznaczoną na podstawie statystyki testowej odpowiedniego testu POST-HOC wartość \(p\) z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Test LSD Fishera
Dla porównań prostych i złożonych, zarówno równolicznych jak i różnolicznych grup, gdy wariancje nie różnią się istotnie.

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,1,df_{WG}}}\cdot \sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}, \]

  gdzie \(F_{\alpha,1,df_{WG}}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz dla stopni swobody odpowiednio: 1 i \(df_{WG}\).

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ t=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j}{\sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi \(t\)-Studenta z \(df_{WG}\) stopniami swobody.

Test Scheffego
Dla porównań prostych zarówno równolicznych jak i różnolicznych grup, gdy wariancje nie różnią się istotnie.

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,df_{BG},df_{WG}}}\cdot \sqrt{(k-1)\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}, \]

  gdzie \(F_{\alpha,df_{BG},df_{WG}}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz \(df_{BG}\) i \(df_{WG}\) stopni swobody.

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ F=\frac{\left(\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j\right)^2}{(k-1)\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_{BG}\) i \(df_{WG}\) stopniami swobody.

Test Tukeya
Dla porównań prostych zarówno równolicznych jak i różnolicznych grup, gdy wariancje nie różnią się istotnie.

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\frac{\sqrt{2}\cdot q_{\alpha,df_{WG},k} \cdot \sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}}{2}, \]

  gdzie \(q_{\alpha,df_{WG},k}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu studentyzowanego rozstępu dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz \(df_{WG}\) i \(k\) stopni swobody.

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ q=\sqrt{2}\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j}{\sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n_j}\right)MS_{WG}}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi studentyzowanego rozstępu z \(df_{WG}\) i \(k\) stopniami swobody.

Info. Algorytm obliczania wartości \(p\) i statystyki rozkładu studentyzowanego rozstępu w PQStat bazuje na pracy Lunda (1983)[108]. Inne programy lub strony internetowe mogą wyliczać nieco inne wartości niż PQStat, gdyż mogą bazować na mniej precyzyjnych lub bardziej restrykcyjnych algorytmach (Copenhaver i Holland (1988), Gleason (1999)).

Test dla trendu
Test badający istnienie trendu może być wyliczany w takiej samej sytuacji jak ANOVA dla zmiennych niezależnych, gdyż bazuje na tych samych założeniach, inaczej jednak ujmuje hipotezę alternatywną – wskazując w niej na istnienie trendu wartości średnich dla kolejnych populacji. Analiza trendu w ułożeniu średnich oparta jest na kontrastach LSD Fishera. Budując odpowiednie kontrasty, można badać dowolny rodzaj trendu, np. liniowy, kwadratowy, sześcienny itd. Poniżej znajduje się tabela przykładowych wartości kontrastów dla wybranych trendów.

Trend liniowy
Trend liniowy, tak jak pozostałe trendy, możemy analizować, wpisując odpowiednie wartości kontrastów. Jeśli jednak znany jest kierunek trendu liniowego, wystarczy skorzystać z opcji Trend liniowy i wskazać oczekiwaną kolejność populacji, przypisując im kolejne liczby naturalne. Analiza przeprowadzana jest w oparciu o kontrast liniowy, czyli wskazanym według naturalnego uporządkowania grupom przypisane są odpowiednie wartości kontrastu i wyliczona zostaje statystyka LSD Fishera.

Przy znanym oczekiwanym kierunku trendu hipoteza alternatywna jest jednostronna i interpretacji podlega jednostronna wartość \(p\). Interpretacja dwustronnej wartości \(p\) oznacza, że badacz nie zna (nie zakłada) kierunku ewentualnego trendu.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).