PQStat Współczynniki korelacji monotonicznej
Kiedy stosować:
Zależność monotoniczna może być opisywana jako monotoniczny wzrost lub monotoniczny spadek. Związek pomiędzy 2 cechami przedstawia monotoniczny wzrost, jeżeli wzrostowi jednej cechy towarzyszy wzrost drugiej cechy, a monotoniczny spadek, jeżeli wzrostowi jednej cechy towarzyszy spadek drugiej cechy. Współczynnik korelacji rangowej Spearmana \(r_s\) (ang. Spearman's rank-order correlation coefficient) oraz współczynnik korelacji tau Kendalla \(\tilde{\tau}\) (ang. Kendall's tau correlation coefficient, Kendall (1938)[92]) służą do badania siły takiego związku pomiędzy dwiema cechami \(X\) i \(Y\).
Warunki stosowania
- pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.
Definicje miar
Współczynnik korelacji rangowej Spearmana \(r_s\) – wartość \(r_s\in\langle-1;1\rangle\) interpretujemy następująco:
- \(r_s\approx1\) oznacza silną dodatnią zależność monotoniczną (rosnącą), tj. wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada wzrost zmiennej zależnej;
- \(r_s\approx-1\) oznacza silną ujemną zależność monotoniczną (malejącą), tj. wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada spadek zmiennej zależnej;
- gdy współczynnik przyjmuje wartość równą lub bardzo bliską zeru, nie istnieje monotoniczna zależność między badanymi cechami (może jednak istnieć związek niemonotoniczny, np. sinusoidalny).
\(R_s\) oznacza współczynnik korelacji rangowej Spearmana populacji, natomiast \(r_s\) w próbie.
Współczynnik korelacji tau Kendalla \(\tilde{\tau}\) – wartość \(\tilde{\tau}\in\langle-1;1\rangle\) interpretujemy następująco:
- \(\tilde{\tau}\approx1\) oznacza silną zgodność uporządkowania rang (zależność monotoniczną rosnącą), tj. wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada wzrost zmiennej zależnej;
- \(\tilde{\tau}\approx-1\) oznacza silną niezgodność uporządkowania rang (zależność monotoniczną malejącą), tj. wzrostowi zmiennej niezależnej odpowiada spadek zmiennej zależnej;
- gdy współczynnik przyjmuje wartość równą lub bardzo bliską zeru, nie istnieje monotoniczna zależność między badanymi cechami (może jednak istnieć związek niemonotoniczny, np. sinusoidalny).
\(\tau\) oznacza współczynnik korelacji Kendalla w populacji, natomiast \(\tilde{\tau}\) w próbie.
Współczynnik \(r_s\) Spearmana a współczynnik \(\tilde{\tau}\) Kendalla
- dla skali interwałowej z normalnością rozkładu obu cech wartość \(r_s\) daje rezultaty bliższe wartości \(r_p\), natomiast wartość \(\tilde{\tau}\) może znacznie różnić się od \(r_p\),
- wartość \(\tilde{\tau}\) jest mniejsza bądź równa wartości \(r_p\),
- \(\tilde{\tau}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru populacji \(\tau\), podczas gdy wartość \(r_s\) nie jest estymatorem nieobciążonym parametru \(R_s\).
Wzory:
Wartość współczynnika korelacji rangowej Spearmana wylicza się według wzoru:
gdzie:
\(d_i=R_{x_i}-R_{y_i}\) – różnica rang dla cechy \(X\) i cechy \(Y\),
\(n\) – liczność \(d_i\).
Wzór ten ulega modyfikacji, gdy występują rangi wiązane:
gdzie \(\Sigma_X=\frac{n^3-n-T_X}{12}\), \(\Sigma_Y=\frac{n^3-n-T_Y}{12}\), \(T_X=\sum_{i=1}^s (t_{i_{(X)}}^3-t_{i_{(X)}})\), \(T_Y=\sum_{i=1}^s (t_{i_{(Y)}}^3-t_{i_{(Y)}})\), a \(t\) to liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej. Poprawka na rangi wiązane powinna być stosowana, gdy rangi wiązane występują – w przeciwnym razie wzór sprowadza się do postaci opisanej wcześniejszym równaniem.
Wartość współczynnika korelacji tau Kendalla wylicza się według wzoru:
gdzie:
\(n_C\) – liczba par obserwacji, dla których wartości rang dla cechy \(X\) jak i dla cechy \(Y\) zmieniają się w tym samym kierunku (liczba par zgodnych),
\(n_D\) – liczba par obserwacji, dla których wartości rang dla cechy \(X\) zmieniają się w innym kierunku niż dla cechy \(Y\) (liczba par niezgodnych),
\(T_X=\sum_{i=1}^s (t_{i_{(X)}}^2-t_{i_{(X)}})\), \(T_Y=\sum_{i=1}^s (t_{i_{(Y)}}^2-t_{i_{(Y)}})\), a \(t\) to liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.
Wzór na współczynnik \(\tilde{\tau}\) zawiera poprawkę na rangi wiązane. Poprawka ta powinna być stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych, poprawka nie jest wyliczana, gdyż wówczas \(T_X=0\) i \(T_Y=0\)).
Test \(t\) do sprawdzania istotności współczynnika korelacji rangowej Spearmana
Kiedy stosować ten test:
Test \(t\) do sprawdzania istotności współczynnika korelacji rangowej Spearmana (ang. test of significance for Spearman's rank-order correlation coefficient) pozwala sprawdzić, czy pomiędzy badanymi cechami populacji istnieje zależność monotoniczna. Opiera się na współczynniku korelacji rangowej Spearmana \(r_s\) wyliczonym dla próby – im wartość \(r_s\) jest bliższa 0, tym słabszą zależnością monotoniczną związane są badane cechy.
Warunki stosowania
- pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.
Jak ustawić analizę
Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) zależność monotoniczna (r-Spearmana) (lub poprzez Kreator).
Wykonanie i interpretacja
Przykład 1. (plik LDL tygodnie.pqs)
Badano skuteczność nowej terapii, której celem jest obniżenie poziomu cholesterolu we frakcji LDL. Przebadano 88 osób na różnym etapie kuracji. Sprawdzimy, czy wraz z upływem czasu stosowania kuracji (czas w tygodniach) poziom cholesterolu LDL spada i się stabilizuje.
Zależność ta jest początkowo malejąca, a po 150 tygodniach zaczyna się stabilizować. Współczynnik korelacji monotonicznej Spearmana, a zatem siła związku monotonicznego dla tej zależności jest dość wysoki i wynosi \(r_s=-0.7806\). Wykres wyrysowano, dopasowując krzywą poprzez lokalne techniki wygładzania liniowego typu LOWESS.
Hipotezy:
\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & R_s = 0, \\ \mathcal{H}_1: & R_s \ne 0. \end{array}\)
Wzory:
Statystyka testowa ma postać:
gdzie \(\displaystyle SE=\sqrt{\frac{1-r_s^2}{n-2}}\).
Wartość statystyki testowej nie może być wyznaczona, gdy \(r_s=1\) lub \(r_s=-1\) albo gdy \(n<3\). Statystyka testowa ma rozkład \(t\)-Studenta z \(n-2\) stopniami swobody.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).
Test do sprawdzania istotności współczynnika korelacji \(\tilde{\tau}\) Kendalla
Kiedy stosować ten test:
Test do sprawdzania istotności współczynnika korelacji \(\tilde{\tau}\) Kendalla (ang. test of significance for Kendall's tau correlation coefficient) pozwala sprawdzić, czy pomiędzy badanymi cechami populacji istnieje zależność monotoniczna. Opiera się na współczynniku korelacji Kendalla wyliczonym dla próby – im wartość \(\tilde{\tau}\) jest bliższa 0, tym słabszą zależnością monotoniczną związane są badane cechy.
Warunki stosowania
- pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.
Jak ustawić analizę
Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) zależność monotoniczna (tau-Kendalla) (lub poprzez Kreator).
Wykonanie i interpretacja
Kontynuacja przykładu 1 (plik LDL tygodnie.pqs): sprawdzimy tę samą zależność między czasem kuracji a poziomem LDL, tym razem współczynnikiem tau Kendalla.
Zależność ta jest początkowo malejąca, a po 150 tygodniach zaczyna się stabilizować. Współczynnik korelacji monotonicznej Kendalla, a zatem siła związku monotonicznego dla tej zależności jest dość wysoki i wynosi \(\tilde{\tau}=-0.5975\). Wykres wyrysowano, dopasowując krzywą poprzez lokalne techniki wygładzania liniowego typu LOWESS.
Hipotezy:
\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \tau = 0, \\ \mathcal{H}_1: & \tau \ne 0. \end{array}\)
Wzory:
Statystyka testowa ma postać:
Statystyka testowa ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).