PQStat Podręcznik Użytkownika PQStat English pqstat.pl

ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Czym są rozkłady prawdopodobieństwa

Rzeczywisty rozkład danych z próby – rozkład empiryczny danych – może być przedstawiony za pomocą Tabel liczności (poprzez wybranie menu Statystyka\(\to\)Analizy opisowe\(\to\)Tabele liczności). Na przykład rozkład liczby wykorzystanych darmowych minut przez abonentów pewnego operatora telefonii komórkowej (przykład (1), plik: rozkład.pqs) przedstawia następująca tabela:

Graficzna prezentacja wyników uzyskanych w raporcie tabeli zwykle dokonywana jest przy pomocy histogramu czy też wykresu kolumnowego.

Wykres taki możemy uzyskać zaznaczając w oknie Tabel liczności opcję Dołącz wykres.
Rozkład teoretyczny danych, zwany również rozkładem prawdopodobieństwa, przedstawiany jest zwykle graficznie przy pomocy wykresu liniowego. Taka linia opisana jest funkcją (modelem matematycznym) zwaną funkcją gęstości rozkładu. Odpowiednim rozkładem teoretycznym można zastąpić rozkład empiryczny – dzięki temu można opisać dane kilkoma parametrami zamiast wypisywać wszystkie zaobserwowane wartości.

Uwaga! Do zastąpienia rozkładu empirycznego rozkładem teoretycznym nie wystarczy intuicyjne stwierdzenie podobieństwa ich przebiegu. Służą do tego specjalnie skonstruowane testy zgodności.

Najczęściej używanym rozkładem prawdopodobieństwa jest rozkład normalny (rozkład Gaussa) – i taki właśnie rozkład, o średniej 161.15 i odchyleniu standardowym równym 13.03, mają dane na temat liczby wykorzystanych darmowych minut (przykład (1), plik: rozkład.pqs).

CIĄGŁE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozkład normalny (rozkład Gaussa)

(ang. normal distribution), nazywany również krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów w statystyce – ma interesujące własności matematyczne i bardzo często opisuje zjawiska występujące w naturze. Oznacza się go zwykle symbolem \(N(\mu,\sigma)\), gdzie \(\mu\) to wartość oczekiwana (średnia w populacji), a \(\sigma\) to odchylenie standardowe – to właśnie te dwie liczby w pełni określają kształt i położenie krzywej.

figure 1

Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym względem prostej prostopadłej do osi odciętych, przechodzącej przez punkt wyznaczający jednocześnie średnią, modę i medianę.
Rozkład normalny o średniej \(\mu=0\) i odchyleniu standardowym \(\sigma=1\) (\(N(0,1)\)) to tzw. rozkład normalny standaryzowany.

Rozkład t-Studenta

(ang. t-Student distribution) ma kształt podobny do standaryzowanego rozkładu normalnego, ale ma dłuższe "ogony" – czyli wartości skrajne pojawiają się w nim nieco częściej. Jego kształt zależy od liczby stopni swobody \(df\) (ang. degree of freedom): im więcej stopni swobody (czyli zwykle im większa próba), tym bardziej rozkład t-Studenta przypomina rozkład normalny.

figure 2

Rozkład chi-kwadrat (\(\chi^2\))

(ang. Chi-square distribution) jest rozkładem prawoskośnym (z dłuższym "ogonem" po prawej stronie), którego kształt zależy od liczby stopni swobody \(df\). Podobnie jak w rozkładzie t-Studenta, wraz ze wzrostem liczby stopni swobody kształt rozkładu \(\chi^2\) upodabnia się do kształtu rozkładu normalnego.

figure 3

Rozkład F Snedecora

(ang. Fisher-Snedecor distribution) ma dłuższy prawy "ogon", a jego kształt zależy od dwóch liczb stopni swobody: \(df_1\) i \(df_2\). Rozkład ten powstaje jako iloraz dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie \(\chi^2\) (każda podzielona przez swoją liczbę stopni swobody) i pojawia się w testach porównujących wariancje lub w analizie wariancji (ANOVA).

figure 4

KALKULATOR FUNKCJI DYSTRYBUCJI

Do czego służy

Pole pod krzywą (funkcją gęstości rozkładu) to prawdopodobieństwo \(p\) wystąpienia wszystkich możliwych wartości badanej zmiennej losowej. Całe pole pod krzywą wynosi \(p=1\). Gdy chcemy zbadać wielkość tylko części tego pola, musimy podać wartość graniczną zwaną wartością krytyczną lub Statystyką. Korzystamy w tym celu z okna Kalkulatora funkcji dystrybucji. W oknie tym można wyliczyć wartość pola pod krzywą (Wartość \(p\)) zadanego rozkładu na podstawie Statystyki, jak też wyznaczyć wartość Statystyki na podstawie Wartości \(p\).

Jak otworzyć kalkulator

Okno Kalkulatora funkcji dystrybucji uruchamiamy poprzez wybranie menu Statystyka\(\to\)Kalkulatory\(\to\)Kalkulator funkcji dystrybucji.

Przykład

Przykład 1. Kalkulator funkcji dystrybucji
Pewien operator telefonii komórkowej przeprowadza szereg badań dotyczących wykorzystania przez klientów liczby przyznanych w abonamencie "darmowych minut". Na podstawie 200-osobowej próby swoich klientów (w której rozkład wykorzystanych "darmowych minut" przyjmuje kształt rozkładu normalnego) wyznaczył wartość średnią \(\overline{x}=161.15 min.\) i odchylenie standardowe \(sd=13.03 min.\) Chcemy wyliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany przez nas klient wykorzystał:

  1. 150 minut lub mniej,
  2. więcej niż 150 minut,
  3. ilość minut z przedziału \([\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]\),
  4. ilość minut spoza przedziału \(\overline{x}\pm sd\).
Uruchamiamy okno Kalkulatora funkcji dystrybucji, wybieramy rozkład Gaussa i wpisujemy średnią \(\overline{x}=161.15min.\) i odchylenie st. \(sd=13.03min.\) oraz zaznaczamy, że będziemy wyliczać Wartość \(p\).
  1. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa), jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał 150 darmowych minut lub mniej, w polu Statystyka wpisujemy wartość 150. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.
    figure 5
    Uzyskana Wartość \(p\) wynosi 0.193961.
    Uwaga! Podobne obliczenia możemy wykonać na podstawie rozkładu empirycznego. Wystarczy wówczas przy pomocy okna Tabele liczności wyznaczyć procent klientów wykorzystujących 150 minut lub mniej (patrz przykład (1), plik: rozkład.pqs). W badanej 200-osobowej próbie klientów wykorzystujących 150 minut lub mniej jest 40, co stanowi 20% próby, a zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi \(P=0.2\).
  2. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa), jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał więcej niż 150 darmowych minut, w polu Statystyka wpisujemy wartość 150 i zaznaczamy opcję 1- Wartość \(p\). Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.
    figure 6
    Uzyskana Wartość \(p\) wynosi 0.806039.
  3. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa), jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał minuty z przedziału \([\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]\), w polu Statystyka wpisujemy jedną z końcowych wartości przedziału, a następnie zaznaczamy opcję dwustronnie. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.
    figure 7
    Uzyskana Wartość \(p\) wynosi 0.682689.
  4. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa), jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał minuty spoza przedziału \([\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]\), w polu Statystyka wpisujemy jedną z końcowych wartości przedziału, a następnie zaznaczamy opcje: dwustronnie i 1-wartość \(p\). Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.
    figure 8
    Uzyskana Wartość \(p\) wynosi 0.317311.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Rozkład normalny \(N(\mu,\sigma)\). Wzór: funkcja gęstości jest zdefiniowana jako:

\[ f(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\bigg(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigg), \]

gdzie:
\(-\infty<x<+\infty\),
\(\mu\) \(-\) wartość oczekiwana populacji (której miarą jest średnia),
\(\sigma\) \(-\) odchylenie standardowe.

Rozkład t-Studenta. Wzór: funkcja gęstości jest zdefiniowana jako:

\[ f(x,df)=\frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\Gamma(\frac{df}{2})\sqrt{df\pi}}\left(1+\frac{x^2}{df}\right)^{-\frac{df+1}{2}}, \]

gdzie:
\(-\infty<x<+\infty\),
\(df\) \(-\) stopnie swobody (liczność próby pomniejszona o liczbę ograniczeń w określonych obliczeniach),
\(\Gamma\) to funkcja Gamma.

Rozkład \(\chi^2\). Wzór: funkcja gęstości jest zdefiniowana jako:

\[ f(x,df)=\frac{1}{2^{\frac{df}{2}}\Gamma{\frac{df}{2}}}x^{\frac{df}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, \]

gdzie:
\(x>0\),
\(df\) \(-\) stopnie swobody (liczność próby pomniejszona o liczbę ograniczeń w określonych obliczeniach),
\(\Gamma\) to funkcja Gamma.

Rozkład F Snedecora. Wzór: funkcja gęstości jest zdefiniowana jako:

\[ F(x,df_1,df_2)=\frac{\sqrt{\frac{(df_1x)^{df_1}d_2^{df_2}}{(df_1x+df_2)^{df_1+df_2}}}}{xB\left(\frac{df_1}{2},\frac{df_2}{2}\right)}, \]

gdzie:
\(x>0\),
\(df_1\), \(df_1\) \(-\) stopnie swobody (przyjmuje się, że jeżeli \(X\) i \(Y\) są niezależne o rozkładzie \(\chi^2\) z odpowiednio \(df_1\) i \(df_2\) stopniami swobody, to \(F=\frac{X/df_1}{Y/df_2}\) ma rozkład F Snedecora \(F(df_1,df_2)\)),
\(B\) to funkcja Beta.