ANALIZA PRZESTRZENNA

Statystyczna analiza przestrzenna definiowana jest jako zbiór technik badania danych, które są zlokalizowane w przestrzeni odniesionej do powierzchni ziemi. Poszczególne techniki analizy przestrzennej stosowane są w różnorodnych dziedzinach - od medycyny (epidemiologia i rozprzestrzenianie się chorób) po logistykę, fizykę i ekonomię (wyszukiwanie najkorzystniejszych lokalizacji dla fabryk, sklepów itp.).

Rozwój metod analizy przestrzennego rozmieszczenia i wzajemnego powiązania obiektów w dużej mierze determinowany był i jest nadal rozwojem informatyzacji. Coraz szybsze komputery o dużej mocy obliczeniowej oraz powstanie systemu GIS, dają możliwość obróbki dużej ilości danych geograficznych.

PODSTAWOWE DEFINICJE

System Informacji Geograficznej –GIS

(ang. Geographic Information System) –jest systemem służącym do wprowadzania, gromadzenia, przetwarzania oraz wizualizacji danych geograficznych. Z technicznego punktu widzenia jest to narzędzie, które pozwala na analizę powiązanych ze sobą:

• informacji o lokalizacji przestrzennej obiektów –reprezentowanej za pomocą mapy;
• charakterystyki opisowej dotyczącej prezentowanych na mapie obiektów –reprezentowanej za pomocą bazy danych.

Obiekty prezentowane za pomocą mapy to:

• Punkty –których lokalizację w przestrzeni 2D definiujemy poprzez dwie współrzędne \((x,y)\);

• Wielopunkty –to punkty pogrupowane w zbiory:

  
  • 1) Przykład wielopunktu, w którym dla każdego punktu zdefiniowana jest jego przynależność do jednej z 3 grup.
• Linie –powstają przez połączenie w odpowiednim porządku kolejnych punktów (linie mogą się przecinać);

• Wielokąty –to zamknięte powierzchnie ograniczone przez zewnętrzne pierścienie (zamknięte, nie przecinające się linie przechodzące w określonej kolejności przez co najmniej 3 różne punkty). Wielokąty mogą zawierać również wewnętrzne pierścienie stanowiące ich granicę wewnętrzną. Przy czym pierścienie zewnętrzne definiowane są zgodnie z ruchem wskazówek zegara a pierścienie wewnętrzne odwrotnie.

  
  • 1) Przykład wielokąta posiadającego tylko granicę zewnętrzną (bez pierścieni wewnętrznych);
  • 2) Przykład wielokąta posiadającego granice zewnętrzną i granice wewnętrzne (obszary zaznaczone przez pierścienie wewnętrzne stanowią część zewnętrznej powierzchni, czyli nie należą do wielokąta).

Atrybuty obiektów

zapisane są w bazie za pomocą:
liczb –np. powierzchnia, temperatura,
tekstów –np. nazwy obiektów.

Projekcja mapy

jest matematycznym sposobem odwzorowania powierzchni kuli ziemskiej na płaszczyznę. Istnieje szereg metod takiego odwzorowania. Odwzorowania mogą bazować na elipsoidzie obrotowej lub powierzchni kuli (sfera) bądź ich części.
Każde odwzorowanie jest bazą do zdefiniowania odpowiedniego układu współrzędnych. Ponieważ każda projekcja powierzchni niesie ze sobą pewne zniekształcenia (zniekształcenia kątów, pól, długości), wybór odpowiedniego układu uzależniony jest od celu do jakiego będzie użyta mapa.
Układy współrzędnych stosowane w kartografii dzielimy na:

• układy współrzędnych geograficznych (określają szerokość i długość geograficzną);
• układy współrzędnych prostokątnych płaskich (tożsame z układem kartezjańskim);
• układy współrzędnych biegunowych.

Aby mapa została poprawnie wczytana, program PQStat wymaga wektorowej mapy zapisanej w pliku SHAPEFILE (shp) zdefiniowanej w odpowiednim układzie współrzędnych prostokątnych płaskich, wymagana miara liniowa.
Program stara się automatycznie wykrywać mapy zawierające współrzędne geograficzne. Jeżeli podczas importu mapy program wykryje układ współrzędnych geograficznych, zaproponowana zostanie konwersja współrzędnych do układu UTM (Universal Transverse Mercator) bazując na układzie odniesienia WGS-84. Ze względu na możliwość uzyskania błędnej konwersji (na skutek stosowania wielu układów współrzędnych geograficznych i braku pewności co do zastosowanego układu), zalecane jest używanie map odpowiednio już przygotowanych –w układzie współrzędnych prostokątnych płaskich.

WCZYTYWANIE MAP

Mapa wraz z przypisaną do niej bazą atrybutów może być wczytana poprzez:

• import pliku kształtów SHP do arkusza danych,
• wczytanie pliku PQS/PQX zawierającego dane z plików kształtów SHP.

Import pliku kształtów SHP
Importu dokonujemy wybierając z menu Plik\(\to\)Importuj dane ...\(\to\)SHP/SHX/DBF ESRI Shapefile (*.shp).

W oknie importu mamy możliwość podglądu importowanej mapy oraz jej atrybutów zapisanych w pliku DBF. Jeśli w katalogu, z którego dokonujemy importu znajdują się wszystkie pliki potrzebne do wczytania mapy, wówczas odpowiednie kontrolki sygnalizują kolorem żółtym poprawność odczytu odpowiednich plików. Atrybuty przypisane do pliku kształtów w formie bazy danych DBF nie są wymagane do poprawnego wczytania mapy, tabela atrybutów może zostać uzupełniona po wczytaniu pliku mapy poprzez wypełnienie odpowiednich komórek arkusza powiązanego z mapą.

MENADŻER MAP

Jest to narzędzie, które umożliwia zarządzanie mapą wraz z przypisanymi do niej warstwami. Przeglądać możemy zarówno mapy zaimportowane do programu PQStat jak i otwierane bezpośrednio z pliku SHP.

Menadżer map uruchamiamy poprzez:

- menu Analiza przestrzenna\(\to\)Menadżer map,
- przycisk na pasku narzędzi,
- menu kontekstowe Menadżer map na nazwie arkusza danych powiązanego z mapą.

Otwarcia mapy dokonujemy poprzez Menadżer map:

- menu Plik\(\to\)Otwórz plik... –jeśli otwieramy mapę z pliku kształtów SHP,
- menu Plik\(\to\)Mapy projektu lub przycisk na pasku narzędzi –jeśli otwieramy mapę znajdującą się w programie PQStat,

lub w Drzewie nawigacji programu PQStat:

- menu kontekstowe Menadżer map na nazwie arkusza danych powiązanego z mapą.

Obraz przedstawiający mapę można wyeksportować do pliku w formacie BMP, PNG lub JPG wybierając w oknie Menadżera map:

- menu Plik\(\to\)Eksportuj obraz....

Narzędzia przeglądania map

Powiększ –pozwala na wyświetlenie mapy w większej skali, co umożliwia przyjrzenie się jej szczegółom;
Pomniejsz –pozwala na wyświetlenie mapy w mniejszej skali, co umożliwia oglądanie wszystkich jej fragmentów jednocześnie;
Dostosuj do okna –pozwala na wyświetlenie mapy w taki sposób, by cały obraz został wyświetlony w oknie;
Zaznacz –pozwala na wybranie prostokątnego fragmentu mapy, który zostanie powiększony i dostosowany do okna;
Rączka –pozwala na przesuwanie obrazu w oknie przeglądarki, tak by ustawić odpowiednią jego część w wybranym miejscu.
Przeglądając mapę uzyskujemy również podpowiedź "w chmurce" dotyczącą ID i nazwy wskazywanego myszą obiektu. Nazwa ta pobierana jest z arkusza danych i jest nią zmienna wskazana w menadżerze map jako aktywna. Domyślnie podczas importu, jako aktywna ustawiana jest pierwsza zmienna typu tekstowego.
Więcej informacji o wskazanym obiekcie możemy uzyskać wybierając opcję Identyfikuj z menu kontekstowego. W oknie identyfikacji możliwa jest także aktywacja/dezaktywacja obiektów.

Narzędzia obszaru zaznaczenia

Tworzenie i zapisywanie obszaru zaznaczenia pozwala na wyszczególnienie fragmentów mapy, które następnie mogą zostać poddane oddzielnej analizie.

Tworzenie obszaru zaznaczenia

Aby zaznaczyć i zapisać zaznaczony obszar wybieramy Narzędzia\(\to\)Utwórz obszar zaznaczenia. Następnie za pomocą myszki lub wypełniając pola umieszczone w górnej części okna menadżera map zaznaczamy wybrany fragment mapy (kształt elipsy lub prostokąta). Stworzone w ten sposób zaznaczenie zapisujemy wykorzystując przycisk Zapisz.

Edycja obszaru zaznaczenia

Położenie każdego zapisanego obszaru zaznaczenia można zmieniać jak i usuwać w oknie edycji obszaru zaznaczenia.

Okno to wywołujemy poprzez menu Narzędzia\(\to\)Edytuj obszar zaznaczenia, a zamykamy przyciskiem Zamknij.

Usuwanie wszystkich obszarów zaznaczenia

Wszystkie obszary zaznaczenia mogą być usunięte poprzez menu Narzędzia\(\to\)Usuń wszystkie obszary zaznaczenia.

Warstwy

Zarówno mapa jak i dodane do niej elementy tworzą warstwy. Warstwy są tak zorganizowane, by zawierać informację o obiektach tylko jednego typu. Zastosowanie warstwowej organizacji umożliwia łatwą modyfikację jedynie wybranych obiektów.
Podstawową warstwą jest warstwa bazowa zawierająca mapę. Do tej warstwy możemy dorysowywać kolejne elementy poprzez nakładanie kolejnych warstw.

Dodawanie warstw

–aby wyrysować obiekty znajdujące się na kolejnych warstwach wybieramy menu Funkcje warstw\(\to\)Dodaj warstwę.

• Warstwa –Wynik analizy statystycznej
  Jest to warstwa, która tworzona jest wraz z raportem statystycznej analizy przestrzennej. Przedstawia dołączony do raportu wynik analizy statystycznej. Przy czym w oknie raportu znajduje się informacja o istnieniu warstw możliwych do wyrysowania na mapie (przycisk ). Warstwa ta może być również dodana przyciskiem w oknie Menadżera map.
  Dopóki nie istnieją raporty statystycznej analizy przestrzennej, okno wyboru wyników analizy jest puste. Gdy raporty takie istnieją, wówczas okno wyboru zawiera listę warstw. Na nazwy warstw znajdujących się na liście składa się nazwa raportu, z którego pochodzi warstwa wraz z datą i godziną jego powstania oraz opis rodzaju rysowanych obiektów.
• Warstwa –Widok innej mapy projektu
  Jest to warstwa przedstawiająca mapę powiązaną z innym arkuszem danych (przycisk w oknie Menadżera map). Widok mapy może być pojedynczą warstwą lub może być złożony z kilku warstw. Nie można go edytować bezpośrednio. Zmiana jego wyglądu jest możliwa poprzez edycję poszczególnych warstw, z których się składa, znajdujących się w rzeczywistej lokalizacji, tzn. powiązanych z innym arkuszem danych.
  Dopóki w projekcie znajduje się tylko jeden arkusz powiązany z mapą, okno wyboru widoku innej mapy jest puste. Gdy arkuszy jest kilka, wówczas okno wyboru zawiera listę warstw. Na nazwy warstw znajdujących się na liście składa się numer i nazwa arkusza, z którym powiązana jest mapa, oraz nazwa pliku z którego została zaimportowana.
  Jeśli do mapy zostanie dołączony widok mapy innego arkusza danych w ten sposób, że nastąpi odwołanie cykliczne (np. do mapy 2 przypisany jest widok mapy 1, a do mapy 1 widok mapy 2), wówczas zostanie wyświetlony komunikat o odwołaniu cyklicznym. Odwołanie zostanie obsłużone, jednak nie jest zalecane stosowanie odwołań cyklicznych.
• Warstwa –Centroid wielokąta –jest to warstwa typu punktowego.
  Centroid wielokata to punkt leżący wewnątrz niego i reprezentujacy środek masy (O'Rourke J. (1998)[10]).
  Centroidy mogą zostać wyrysowane na podstawie obliczeń wykonanych na mapie –wybieramy wówczas opcję Wylicz i wyrysuj na podstawie danych mapy lub na podstawie gotowych punktów, których współrzędne znajdują się w arkuszu danych –wybieramy wówczas opcję Wyrysuj na podstawie arkusza danych.
• Warstwa –Centrum wielokąta –jest to warstwa typu punktowego.
  Centrum to punkt o współrzędnych osi X i osi Y wyliczonych jako średnia z współrzędnych punktów stanowiących wierzchołki wielokąta.
  Centra mogą zostać wyrysowane na podstawie obliczeń wykonanych na mapie –wybieramy wówczas opcję Wylicz i wyrysuj na podstawie danych mapy lub na podstawie gotowych punktów, których współrzędne znajdują się w arkuszu danych –wybieramy wówczas opcję Wyrysuj na podstawie arkusza danych.
• Warstwa –Etykieta dla obiektu –jest to warstwa typu tekstowego.
  Etykieta to dowolny tekst lub liczba dotycząca prezentowanych na mapie obiektów. Obiekty można podpisać wybierając z arkusza danych zmienną zawierającą odpowiednie etykiety.
• Warstwa –Obwiednia/granica obiektów –jest to warstwa typu wielokątowego.
  Min. Granica - otoczka wypukła –to najmniejszy wypukły wielokąt, w którym zamknięte są analizowane obiekty (Yamamoto J.K. 1997 [17]);
  Min. Granica - prostokąt –to najmniejszy prostokąt, w którym zamknięte są analizowane obiekty;
  Min. Granica - okrąg –to najmniejszy okrąg, w którym zamknięte są analizowane obiekty;
  Prostokąt z granic mapy –to prostokąt, w którym zamknięte są analizowane obiekty, o współrzędnych lewego dolnego wierzchołka = (\(\min X\), \(\min Y\)) i prawego górnego wierzchołka = (\(\max X\), \(\max Y\)).

Lista warstw

–lista warstw pozwala na sprawdzenie z jak wielu widocznych warstw składa się uzyskany obraz (przycisk w oknie Menadżera map).

Poprzez listę możemy również włączać i wyłączać widoczność warstwy, zmieniać kolejność ich nakładania , edytować je oraz usuwać . Przy czym, jeśli źródło warstwy (dowiązany raport lub mapa) zostanie usunięte, wówczas warstwa taka jest usuwana automatycznie z listy warstw.

Edycja stylu map

Warstwy map możemy edytować wybierając przycisk umieszczony w liście map. Sposób edycji zależy od rodzaju obiektów, które przedstawia mapa (punkty, wielopunkty, linie, wielokąty). Możliwe jest ustawienie stylu linii, koloru wypełnienia i stopnia jego przezroczystości. Standardowo kolorowanie odbywa się przy użyciu jednego koloru. Natomiast w przypadku warstw przedstawiających mapę bazową, metod kolorowania jest kilka.
Sposoby kolorowania:

Pełen kolor

–w ten sposób wszystkie obiekty pokolorowane zostaną tą samą metodą –przy użyciu jednego koloru (przycisk Wypełnienie).

Gradacja kolorów

–w ten sposób obiekty zostaną pokolorowane według wartości odpowiadającej im we wskazanej zmiennej arkusza danych (przycisk Stopniowanie kolorów). Na przykład kolorując mapę przedstawiającą wysokość nad poziom morza, dla punktów położonych wyżej odcień koloru będzie inny niż dla tych położonych niżej. Zmienna według której będziemy kolorować powinna zawierać wyłącznie wartości liczbowe. Jeśli tak nie jest, wówczas obiekt, dla którego brak jest wartości liczbowej nie jest kolorowany zgodnie ze sposobem kolorowania wybranym dla tej zmiennej, ale pozostaje w kolorze domyślnym dla całej mapy.
Sposoby podziału zmiennej wykorzystywane w gradacji kolorów:

• Naturalny Podział (Jenks) –metoda polegająca na takim podziale zmiennej na klasy, by zminimalizować wariancję w klasach a zmaksymalizować wariancję pomiędzy klasami.
• Podział według kwantyli –metoda polegająca na podziale zmiennej na klasy równej liczności.

OGRANICZENIE OBSZARU ROBOCZEGO

Ograniczenie obszaru roboczego wykonuje się w celu wskazania tylko tych obiektów, których ma dotyczyć analiza. W programie obiekty takie wskazuje się poprzez ich aktywację lub dezaktywację. Obiekty nieaktywne nie biorą udziału w analizach statystycznych.

Ręczna aktywacja/dezaktywacja obiektów

• Wskazanie wiersza w arkuszu danych opisującego odpowiedni obiekt i wybranie opcji Aktywuj/Dezaktywuj z menu kontekstowego na jego nazwie;
• Wskazanie obiektu na mapie i wybranie z menu kontekstowego Aktywuj/Dezaktywuj lub Identyfikuj \(\to\) Aktywuj/Dezaktywuj obiekt.

Automatyczna aktywacja/dezaktywacja obiektów

• Selekcja obiektów na podstawie arkusza danych – przykładowo, można wskazać jako aktywne tylko te sklepy, które są sklepami spożywczymi o powierzchni nie większej niż 1000m2. Ustawienie odpowiednich warunków selekcji obiektów odbywa się wówczas w oknie Aktywacji/Dezaktywacji dostępnego po wybraniu menu Edycja \(\to\)Aktywuj/Dezaktywuj (filtr).... Szczegółowy opis sposobów tego typu selekcji można znaleźć w Podręczniku Użytkownika - PQStat (rozdział: Ograniczanie obszaru roboczego arkusza).
• Selekcja obiektów na podstawie mapy – przykładowo, można wyodrębnić tylko te sklepy, które znajdują się wewnątrz wskazanego na mapie prostokątnego lub eliptycznego obszaru. Obszar ten zaznaczamy korzystając z narzędzi obszaru zaznaczenia (patrz rozdział Narzędzia obszaru zaznaczenia) a następnie aktywujemy lub dezaktywujemy w oknie Aktywuj/Dezaktywuj w zaznaczeniu dostępnym po wybraniu menu Narzędzia \(\to\)Aktywuj/Dezaktywuj w zaznaczeniu w oknie Menadżera map.

By aktywować wszystkie obiekty należy wybrać menu Narzędzia \(\to\)Aktywuj wszystkie w oknie Menadżera map lub menu Edycja \(\to\)Aktywuj wszystkie w oknie programu PQStat.

OBLICZENIA GEOMETRYCZNE

Obliczenia geometryczne są to formuły obliczeniowe (patrz Podręcznik Użytkownika - PQStat (rozdział: Formuły)). Formuły dotyczyć mogą danych widocznych w arkuszu lub tych opisujących geometrię mapy.

• Formuły dla danych opisujących geometrię mapy - funkcje geometryczne/geograficzne
  Jako dane do transformacji wybieramy SHP - dane z pliku kształtów.

  

  Dostępne formuły:
  meanCenter (poly) - zwraca współrzędne centrów dla wielokątów,
  centroid (poly) - zwraca współrzędne centroidów dla wielokątów,
  area (poly) - zwraca pola powierzchni wielokątów,
  perimeter (poly) - zwraca obwody wielokątów.

• Formuły dla danych arkusza - tworzenie map
  Dostępne formuły:
  map (points) - zwraca wektorową mapę punktów wraz z przypisanym arkuszem.
  

Wzajemne relacje przestrzenne pomiędzy obiektami przedstawionymi na płaszczyźnie mapy mogą zostać przełożone na postać macierzową. Uzyskane macierze nazywane są macierzami wag. Ze względu na duże rozmiary i dużą ilość szczegółowej informacji, macierze wag nie są nośnikiem wiedzy, która może być bezpośrednio zamieszczona w wynikach przeprowadzanego badania, ale stanowią bazę do dalszych analiz. Zawarte w nich dane traktowane są zwykle w analizach przestrzennych jako wagi i w ten sposób pozwalają wykorzystać informacje płynące z mapy.
Najprostszą postacią macierzy wag jest macierz sąsiedztwa. Macierz sąsiedztwa jest tablicą kwadratową o zerach na diagonali, gdzie sąsiedztwo pomiędzy obiektami jest oznaczane wartością binarną (1 – gdy obiekty sąsiadują, 0 – gdy obiekty nie sąsiadują).

	nr	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	0	1	1	1	0	0	0	0
	2	1	0	1	0	0	1	1	0
	3	1	1	0	1	1	1	0	0
	4	1	0	1	0	1	0	0	0
	5	0	0	1	1	0	1	1	1
	6	0	1	1	0	1	0	1	1
	7	0	1	0	0	1	1	0	1
	8	0	0	0	0	1	1	1	0

Przykład macierzy sąsiedztwa

Najczęściej wykorzystywane w toku analiz statystycznych są macierze wag standaryzowane rzędami do jedynki. Standaryzacja rzędami do jedynki oznacza, że każda waga jest podzielona przez sumę wiersza (sumę wag wszystkich sąsiednich elementów). W rezultacie uzyskane wagi znajdą się w przedziale od 0 do 1. Wpływ obiektów z różną liczbą sąsiadów, w analizach bazujących na tak zestandaryzowanej macierzy wag, jest zrównoważony.

Wybrane macierze wag powinny odzwierciedlać zależności przestrzenne łączące analizowane obiekty. Im model wzajemnego oddziaływania obiektów w przestrzeni odzwierciedlony zostanie bardziej realistycznie, tym dokładniejsze wyniki uzyskamy.
Okno z ustawieniami opcji macierzy wag wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Narzędzia \(\to\) Macierz wag przestrzennych.

Do wyznaczenia macierzy wag bazującej na odległościach punktów, powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu punkt, wielopunkt lub wielokąt. W przypadku analizy wielokątów obliczenia oparte są na centroidach, a przypadku wielopunktów na centrach obiektów.
Opis macierzy, której elementy powstają na zasadzie wyliczania odległości pomiędzy punktami można znaleźć w Podręczniku użytkownika - PQStat, w rozdziale dotyczącym macierzy podobieństwa.

Do wyznaczenia macierzy wag bazującej na przyległości obiektów (wspólnej granicy), powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu wielopunkt lub wielokąt.
Kryterium wspólnej granicy
Wspólna granica porównywanych obiektów zwyczajowo rozumiana jest jako wspólny odcinek o niezerowej długości (tzn. odcinek dłuższy niż 1 punkt) – jest to sąsiedztwo typu Rook, lub jako dowolny odcinek (również o zerowej długości, czyli punkt) – jest to sąsiedztwo typu Queen.
Rodzaje macierzy wag bazujących na wspólnej granicy:

• Macierz bezpośredniego sąsiedztwa – to symetryczna macierz kwadratowa, w której na głównej przekątnej znajdują się zera, elementy poza przekątną to:

  \(w_{ij} = 1\) – jeśli obiekty łączy wspólna granica,

  \(w_{ij} = 0\) – w przeciwnym przypadku.

• Macierz sąsiedztwa (do k-tego stopnia) – to symetryczna macierz kwadratowa, w której na głównej przekątnej znajdują się zera, elementy poza przekątną to:

  \(w_{ij} = 1\) – jeśli obiekty są bezpośrednimi sąsiadami (łączy je wspólna granica),

  \(w_{ij} = 2\) – jeśli obiekty są sąsiadami drugiego stopnia (druga warstwa sąsiedztwa czyli tzw. sąsiad sąsiada)

  ...

  \(w_{ij} = k\) – jeśli obiekty są sąsiadami \(k\)-tego stopnia (\(k\)-ta warstwa sąsiedztwa)

  \(w_{ij} = 0\) – sąsiedztwo jest dalsze niż \(k\)-tego stopnia.

• Macierz sąsiedztwa (k-tego stopnia) – to symetryczna macierz kwadratowa, w której na głównej przekątnej znajdują się zera, elementy poza przekątną to:

  \(w_{ij} = 1\) – jeśli obiekty są sąsiadami \(k\)-tego stopnia (\(k\)-ta warstwa sąsiedztwa)

  \(w_{ij} = 0\) – w przeciwnym przypadku.

Macierze wag mogą być standaryzowane rzędami do jedynki – jest to zalecenie niektórych analiz statystycznych bazujących na tych macierzach.

Ideą wygładzania przestrzennego jest uzyskanie zmiennej o lepszych (bardziej stabilnych i odszumionych) wartościach. Najczęściej sposoby budowania takiej zmiennej opierają się na zapożyczeniu informacji z regionów sąsiednich lub wykorzystaniu większej liczby informacji płynącej z regionu badanego (L.A. Waller 2004 [14], Luc Anslin 2006 [2]). W rezultacie wartości badanej zmiennej \(X\) o elementach \(x_1,x_2,...,x_n\) przekształcone zostaną w nową, wygładzoną zmienną \(smooth(X)\) o elementach \(smooth(x_1),smooth(x_2),...,smooth(x_n)\).
Badacz ma możliwość sterowania analizą poprzez wybór macierzy odległości/sąsiedztwa obiektów, ustalenie potencjału własnego dla wygładzanego obiektu i wskazanie metody przeprowadzania wygładzania.

Macierz wag przestrzennych

Informacja o sąsiedztwie obiektów i ich wzajemnych odległościach zdefiniowana jest w macierzy wag przestrzennych. Jeśli do wygładzania zostanie wykorzystana macierz sąsiedztwa – niosąca jedynie informację o sąsiadowaniu (1) lub nie (0), wówczas wpływ na uzyskany wynik będą miały tylko obiekty sąsiadujące z badanym i wielkość tego wpływu będzie taka sama dla wszystkich sąsiadów. Gdy badacz chce stopniować wielkość tego wpływu, powinien wybrać macierz o dowolnych wartościach dodatnich. Przy czym należy pamiętać, że większa wartość w macierzy wag daje większy wpływ na wynik wygładzania. Zatem, aby bliższe obiekty miały większy wpływ na uzyskany wynik niż obiekty odległe, powinny posiadać wyższą wagę w macierzy. Taki efekt można osiągnąć stosują na przykład macierz odwrotnej odległości euklidesowej wewnątrz okręgu o promieniu \(d\). Wówczas obiekty bliższe będą miały większy wpływ na uzyskany wynik niż te odległe, a wpływ obiektów poza okręgiem będzie zerowy.
Szerzej metody budowania macierzy wag opisane są w dziale Macierz wag przestrzennych oraz Macierz podobieństwa.

Potencjał własny

Potencjał własny \(p\) wygładzanego obiektu decyduje o wielkości wpływu informacji o obiekcie badanym na wygładzoną wartość dla tego obiektu.

• Wartość potencjału własnego
  Wartość potencjału własnego ustala wielkość elementów umieszczonych na głównej przekątnej macierzy wag. Standardowo wartość potencjału własnego ustawiona jest na 1, podanie wartości zero (\(p=0\)) powoduje wyliczanie wygładzonej wartości badanego obiektu w oparciu wyłącznie o informacje zawarte w obiektach sąsiednich. Natomiast zwiększanie wartości potencjału własnego zwiększa jego udział w wyliczaniu wygładzonej wartości dla tego obiektu.

• Korekcja wartości potencjału
  Samo ustawienie wartości potencjału własnego ustala wielkość wpływu badanego obiektu na uzyskany wynik, nie definiuje jednak o ile ten wpływ ma być większy/mniejszy od wpływu obiektów sąsiednich (elementów poza główną przekątną macierzy wag). Uzależnienie wartości na głównej przekątnej macierzy zarówno od podanej wartości potencjału jak i od wartości innych elementów macierzy pozwala na ustalenie wielkości wpływu obiektu badanego w stosunku do obiektów sąsiednich. Korekta wartości potencjału dana jest wzorem:

  \[ w_{ii}=p\cdot\sum_{j=1,j\neq i}^n w_{ij} \]

  W rezultacie, wybranie opcji korekty wartości potencjału i ustalenie wartości potencjału na przykład na wielkość 3 gwarantuje, że wpływ informacji o obiekcie badanym na wygładzoną wartość dla tego obiektu będzie trzykrotnie wyższy niż obiektów z nim sąsiadujących.

Metody

• Lokalnie ważona średnia (ang. locally weighted average)
  Przekształcenie to polega na wyliczeniu średniej arytmetycznej z wartości zmiennej \(X\) dla obiektu badanego (wg potencjału) i obiektów z nim sąsiadujących (wg zadanej macierzy wag). Obserwowana wartość \(x_i\) przekształcana jest na wygładzoną wartość \(smooth(x_i)\) zgodnie z wzorem:

  \[ smooth(x_i)=\frac{\sum_{j=1}^n w_{ij}x_j}{\sum_{j=1}^n w_{ij}} \]

  gdzie:

  \(n\) – liczba obiektów przestrzennych (liczba punktów lub wielokątów),
  \(x_j\) – to wartości zmiennej dla porównywanych obiektów,
  \(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag.

• Lokalnie ważona mediana (ang. locally weighted median)
  Przekształcenie to polega na wyliczeniu mediany z wartości zmiennej \(X\) dla obiektu badanego (wg potencjału) i obiektów z nim sąsiadujących (wg zadanej macierzy wag). Do jej wyznaczania konieczna jest macierz sąsiedztwa, gdzie wagi są wartościami binarnymi. Wartość jeden w macierzy oznacza sąsiadowanie obiektów a zero brak sąsiedztwa.
  

• Lokalnie ważona średnia + dostosowanie (ang. locally weighted average (corrected))
  W procesie wygładzania współczynników zbudowanych na bazie dzielenia dwóch zmiennych wyznaczenie lokalnie ważonej średniej można poprawić. Wygładzona jest wówczas dzielna i dzielnik a dopiero na bazie tych wygładzonych wartości tworzony jest iloraz. W ten sposób można na przykład wygładzić współczynniki zachorowania wyznaczane w toku badań epidemiologicznych, gdzie dzielną stanowi liczba chorych a dzielnikiem jest liczność populacji narażonej. W rezultacie obiekty o większej populacji, będą miały większy wpływ na wynik wygładzania - dlatego mianownik wygładzanego współczynnika nazywany jest zmienną dostosowującą.
  Obserwowana wartość współczynnika \(\frac{x_i}{y_i}\) przekształcana jest na wygładzoną wartość \(smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)\) zgodnie z wzorem:

  \[ smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)=\frac{\sum_{j=1}^n w_{ij}x_j}{\sum_{j=1}^n w_{ij}y_j} \]

  gdzie:

  \(n\) – liczba obiektów przestrzennych (liczba punktów lub wielokątów),
  \(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag.

• Empiryczne loklane wygładzanie Bayes'a + dostosowanie (ang.Empirical Local Bayes Smoothing (corrected))
  Metoda lokalnego wygładzania Bayesa została opracowana jako jedna z możliwości radzenia sobie z niestabilnością współczynników związaną z małą licznością danych i została opisana szczegółowo przez Wallera (2004 [14]). Wygładzenie ma na celu poprawienie lokalnie ważonej średniej (dostosowanej), tak by ograniczyć jej wariancję.
  Obserwowana wartość współczynnika \(\frac{x_i}{y_i}\) przekształcana jest na wygładzoną wartość \(smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)\) zgodnie z wzorem:

  \[ smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)_{Bayes}=smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)+C_i\left(\frac{x_i}{y_i}-smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)\right) \]

  gdzie:

  \(smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)\)- lokalnie ważona średnia (dostosowana)
  \(C_i\) – współczynnik kurczenia (ang. shrink factor)
  \(C_i=\frac{s^2-\frac{x_i/y_i}{\bar{y}_i}}{s^2-\frac{x_i/y_i}{\bar{y}_i}+\frac{x_i/y_i}{y_i}}\) jeśli \(s^2-\frac{x_i/y_i}{\bar{y}_i}>0\)
  \(s_i^2=\frac{\sum_{j=1}^ne_{ij}}{\sum_{j=1}^ny_jw_{ij}}\)
  \(e_{ij}=y_i\left(\frac{x_i}{y_i}w_{ij}-smooth\left(\frac{x_i}{y_i}\right)\right)\)
  \(\bar{y}_i=\frac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}\) – to średnia liczność populacji,
  \(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag.

  Współczynnik kurczenia pozwala balansować pomiędzy lokalną średnią \(smooth(x_i/y_i)\) a obserwowaną wartością współczynnika \(x_i/y_i\). Kiedy liczność zmiennej dostosowującej \(y_i\) (liczność populacji) jest mała, wówczas \(C_i\to 0\) i estymowana wartość jest bliska lokalnie ważonej średniej dostosowanej \(smooth(x_i/y_i)\) . Gdy liczność populacji jest duża, wówczas \(C_i\to 1\) i estymowana wartość zbliża się do rzeczywistej wartości obserwowanej w tym obiekcie \(x_i/y_i\).