Testy dla jednej proporcji

Kiedy stosować ten test:

Testy dla jednej proporcji stosujemy, gdy mamy do uzyskania dwa możliwe wyniki (jeden z nich to wynik wyróżniony o liczności \(m\)) i wiemy, jak często te wyniki pojawiają się w próbie (znamy proporcję \(p\)). Testy te służą do weryfikacji hipotezy, że proporcja w populacji, z której pochodzi próba, to zadana wartość. W zależności od wielkości próby \(n\) mamy do wyboru test \(Z\) dla jednej proporcji – dla dużych prób, oraz test dokładny dwumianowy – dla prób o małej liczności.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej – ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę.

Uwaga! Dodatkowy warunek dla testu \(Z\) dla jednej proporcji: duża liczność (według interpretacji Marascuilo i McSweeney (1977)[115] każda z wartości \(np>5\) i \(n(1-p)>5\)). Gdy warunek ten nie jest spełniony, zaleca się skorzystać z testu dokładnego dwumianowego.

Definicje miar

Przedział ufności dla proporcji – dla estymatora z próby, jakim jest w tym przypadku wartość proporcji \(p\), wyznacza się przedział ufności. Dla prób o dużej liczności można bazować na przedziałach opartych o rozkład normalny – tzw. przedziały Walda. Bardziej uniwersalne są natomiast przedziały zaproponowane przez Wilsona (1927)[174], a także Agresti i Coull (1998)[5]. Przedziały Cloppera i Pearsona (1934)[39] są dokładniejsze dla prób o mniejszej liczności. Porównanie metod budowania przedziałów dla proporcji można znaleźć w pracy Browna L.D. i innych (2001)[30].

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Z dla proporcji.

Wykonanie i interpretacja

Kontynuacja przykładu 1 (plik obiady.pqs): załóżmy, że chcielibyśmy sprawdzić, czy w piątek wydawana jest \(\frac{1}{5}\) spośród wszystkich obiadów wydawanych w szkolnej stołówce w ciągu tygodnia. Dla pobranej próby \(m=20\), \(n=150\).

Przy ustawianiu opcji analizy włączamy filtr, wybierając odpowiedni dzień tygodnia – czyli piątek. Brak ustawienia filtru nie generuje błędu, a jedynie skutkuje wyliczeniem kolejnych statystyk dla kolejnych dni tygodnia.

\(p=0.041227\) dla testu \(Z\) bez poprawki na ciągłość, \(p=0.044711\) dla testu dokładnego dwumianowego (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\)); \(p=0.052479\) dla testu \(Z\) z poprawką na ciągłość (nieistotne statystycznie)

Proporcja obiadów wydawanych w piątek jest statystycznie mniejsza niż \(\frac{1}{5}\) obiadów wydawanych przez cały tydzień – z wyjątkiem wyniku testu \(Z\) z poprawką na ciągłość.

Proporcja wartości wyróżnionych w próbie to \(p=\frac{m}{n}=0.133\), a 95% przedział ufności Cloppera-Pearsona dla tej frakcji \((0.083, 0.198)\) nie zawiera hipotetycznej wartości 0.2.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\( \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & p=p_0,\\ \mathcal{H}_1: & p\neq p_0, \end{array} \)

gdzie:
\(p\) – prawdopodobieństwo (wyróżniona proporcja) w populacji,
\(p_0\) – prawdopodobieństwo oczekiwane (proporcja oczekiwana).

Test \(Z\) dla jednej proporcji (ang. \(Z\) test for one proportion)
Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}, \]

gdzie:
\(p=\frac{m}{n}\) – proporcja dla próby z tej populacji,
\(m\) – liczność wartości wyszczególnionych w próbie,
\(n\) – liczność próby.
Zmodyfikowana o poprawkę na ciągłość statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{|p-p_0|-\frac{1}{2n}}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}. \]

Statystyka \(Z\), zarówno bez korekcji na ciągłość, jak i z tą korekcją, ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Test dwumianowy (ang. Binomial test for one proportion)
Definicja: Test wykorzystuje w sposób bezpośredni rozkład dwumianowy, zwany również rozkładem Bernoulliego, który należy do grupy rozkładów dyskretnych (czyli takich, w których badana zmienna przyjmuje skończoną liczbę wartości). Analizowana zmienna może przyjmować \(k=2\) wartości, pierwszą oznaczaną zwykle mianem sukcesu, a drugą – porażki. Prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu to \(p_0\), a porażki \(1-p_0\).

Wzory: Prawdopodobieństwo dla konkretnego punktu w tym rozkładzie wyliczane jest ze wzoru:

\[ P(m)={n \choose m}p_0^m(1-p_0)^{n-m}, \]

gdzie:
\({n \choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\),
\(m\) – liczność wartości wyszczególnionych w próbie,
\(n\) – liczność próby.

Interpretacja: Na podstawie sumy odpowiednich prawdopodobieństw \(P\) wyznacza się wartość \(p\) jednostronną i dwustronną, przy czym dwustronna wartość \(p\) jest definiowana jako podwojona wartość mniejszego z jednostronnych prawdopodobieństw. Wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).