Test Z dla dwóch zależnych proporcji

Kiedy stosować ten test:

Test \(Z\) dla dwóch zależnych proporcji stosujemy, gdy tę samą cechę o dwóch możliwych odpowiedziach (np. tak/nie, zgadzam się/nie zgadzam się) mierzymy dwukrotnie u tych samych osób, i chcemy sprawdzić, czy odsetek jednej z odpowiedzi zmienił się między pomiarami (np. przed i po jakimś wydarzeniu). Jest to podobna sytuacja do testu McNemara.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej – ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
model zależny,
duża liczność.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Z dla dwóch zależnych proporcji.

Krok 1. Wskaż dwie zmienne odpowiadające pierwszemu i drugiemu pomiarowi tej samej cechy.

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Przedział ufności dla różnicy dwóch zależnych proporcji estymowany jest w oparciu o metodę Newcomba-Wilsona.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. Przykład (1) c.d. (plik opinia.pqs)
Gdy ograniczymy nasze badanie do osób mających zdefiniowany pogląd na temat wykładowcy (oceniających go tylko pozytywnie lub negatywnie), uzyskamy 152 takich studentów. Wśród nich: 50 studentów oceniało wykładowcę pozytywnie zarówno przed, jak i po egzaminie; 4 studentów oceniało go dobrze przed egzaminem, ale źle po egzaminie; 44 studentów oceniało go źle przed egzaminem, a dobrze po egzaminie; 54 studentów oceniało go negatywnie zarówno przed, jak i po egzaminie. Wiemy więc, że \(\frac{50+4}{152}=35.53\%\) studentów przed egzaminem wyrażało negatywną opinię, a po egzaminie odpowiedni procent wynosił \(\frac{50+44}{152}=61.84\%\). Chcemy sprawdzić, czy proporcja negatywnych ocen zmieniła się między pomiarami.

\(p=0.0001\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Proporcja negatywnych ocen wykładowcy przed egzaminem różni się istotnie statystycznie od proporcji negatywnych ocen po egzaminie.

Różnica proporcji wyróżnionych w próbie to 26.32%, a jej 95% przedział ufności \((18.07\%, 33.88\%)\) nie zawiera 0 – do tego samego wniosku prowadzi test McNemara. Po egzaminie wykładowca jest istotnie częściej oceniany negatywnie.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Definicja: Oznaczenia tabeli kontyngencji dla dwóch zależnych pomiarów tej samej cechy \(X\) (pierwszy pomiar \(X^{(1)}\), drugi pomiar \(X^{(2)}\)), każdy o dwóch możliwych odpowiedziach (+) i (\(-\)):

Liczności obserwowane		\(X^{(2)}\)
\(O_{ij}\)		(+)	(\(-\))	Suma
\(X^{(1)}\)	(+)	\(O_{11}\)	\(O_{12}\)	\(O_{11}+O_{12}\)
	(\(-\))	\(O_{21}\)	\(O_{22}\)	\(O_{21}+O_{22}\)
	Suma	\(O_{11}+O_{21}\)	\(O_{12}+O_{22}\)	\(n=O_{11}+O_{12}+O_{21}+O_{22}\)

gdzie \(O_{11}\) – liczba osób z odpowiedzią (+) w obu pomiarach, \(O_{12}\) – liczba osób, które zmieniły odpowiedź z (+) na (\(-\)), \(O_{21}\) – liczba osób, które zmieniły odpowiedź z (\(-\)) na (+), \(O_{22}\) – liczba osób z odpowiedzią (\(-\)) w obu pomiarach.

Dla tych danych wyliczamy wyróżnione proporcje \(p_1=\frac{O_{11}+O_{12}}{n}\) i \(p_2=\frac{O_{11}+O_{21}}{n}\).

Hipotezy:

\( \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & P_1-P_2=0,\\ \mathcal{H}_1: & P_1-P_2\neq 0, \end{array} \)

gdzie \(P_1\), \(P_2\) – wyróżnione proporcje w populacji, dla pierwszego i drugiego pomiaru.

Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{O_{21}+O_{12}}}\cdot n, \]

i ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.