Hipotezy: dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów lub są upraszczane do median:

gdzie \(\theta_1,\theta_2,...\theta_k\) – mediany badanej cechy w kolejnych pomiarach z badanej populacji.

Wzory: wyznacza się dwie statystyki testowe: statystykę Friedmana

oraz jej modyfikację Imana-Davenport

gdzie:
\(n\) – liczność próby,
\(R_{ij}\) – rangi przypisane kolejnym pomiarom \((j=1,2,...k)\), oddzielnie dla każdego z badanych obiektów \((i=1,2,...n)\),
\(\displaystyle C=1-\frac{\sum(t^3-t)}{n(k^3-k)}\) – korekta na rangi wiązane,
\(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej. Poprawka \(C\) jest stosowana, gdy rangi wiązane występują (w przeciwnym razie \(C=1\)).

Statystyka \(T_1\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z \(df=k-1\) stopniami swobody. Statystyka \(T_2\) podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_1=k-1\) i \(df_2=(n_j-1)(k-1)\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Testy POST-HOC

Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC znajduje się w rozdziale Kontrasty i testy POST-HOC dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji.

Test Dunna
Stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama). Test Dunna (Dunn, 1964[52]) jest korygowany ze względu na wielokrotne testowanie – najczęściej korektą Bonferroniego lub Sidaka (inne korekty opisano w dziale Wielokrotne porównania).

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=Z_{\alpha(corrected)}\sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}, \]

  gdzie \(Z_{\alpha(corrected)}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu normalnego dla poziomu istotności \(\alpha\) skorygowanego o liczbę możliwych porównań prostych \(c\) zgodnie z wybraną poprawką.

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ Z=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{R}_j}{\sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}}, \]

  gdzie \(\overline{R}_j\) – średnia rang \(j\)-tego pomiaru, dla \((j=1,2,...k)\). Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności próby) rozkład normalny, a wartość \(p\) jest korygowana o liczbę możliwych porównań prostych zgodnie z wybraną poprawką.

Test Conover-Inman
Nieparametryczny odpowiednik LSD Fishera[47], stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama).

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,1,df_2}}\cdot\sqrt{\frac{2\left(n_jA-\sum_{j=1}^tR_j^k\right)}{(n_j-1)(k-1)}}, \]

  gdzie \(\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n_j}\sum_{j=1}^kR_{ij}^2\) – suma kwadratów dla rang, a \(F_{\alpha,1,df_2}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz dla stopni swobody odpowiednio: 1 i \(df_2\).

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ t=\frac{\sum_{j=1}^k c_jR_j}{\sqrt{\frac{2\left(n_jA-\sum_{j=1}^tR_j^k\right)}{(n_j-1)(k-1)}}}, \]

  gdzie \(R_j\) – suma rang \(j\)-tego pomiaru, dla \((j=1,2,...k)\). Statystyka ta podlega rozkładowi \(t\)-Studenta z \(df_2\) stopniami swobody.