Test Fishera dla dużych tabel

Kiedy stosować ten test:

Test Fishera dla tabel \(r\times c\), zwany również testem Fishera-Freemana-Haltona (ang. Fisher-Freeman-Halton test), Freeman G.H., Halton J.H. (1951)[64], stosujemy zamiast testu \(\chi^2\) dla tabel \(r\times c\), gdy liczności oczekiwane w tabeli są zbyt małe (warunek Cochrana nie jest spełniony). Jest to rozszerzenie na tabele \(r\times c\) testu dokładnego Fishera, wyznaczające dokładne prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego rozkładu liczb w tabeli przy znanym \(n\) i ustalonych sumach brzegowych.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej,
model niezależny,
małe liczności oczekiwane (test \(\chi^2\) nie jest wskazany).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat, Fisher, OR/RR (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż dwie zmienne (cechy), których zależność chcesz sprawdzić.

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Procedura obliczania wartości \(p\) dla tego testu bazuje na algorytmie opublikowanym w pracy Mehta (1986)[120].

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik praca-profilaktyka.pqs)
W populacji osób zamieszkujących obszary wiejskie gminy Komorniki badano, czy wykonywanie badań profilaktyki zdrowia jest uzależnione od rodzaju aktywności zawodowej mieszkańców. Zebrano losową próbę 120 osób i zapytano o wykształcenie oraz o to, czy osoby te wykonują badania profilaktyczne. Pełną odpowiedź uzyskano od 113 osób.

\(p<0.0001\) (test Fishera, istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W badanej populacji istnieje zależność pomiędzy wykonywaniem badań profilaktycznych a rodzajem wykonywanej pracy.

Warunek Cochrana nie jest spełniony, dlatego nie powinniśmy stosować testu chi-kwadrat – stąd wybór testu Fishera. Jeśli interesują nas dokładniejsze informacje na temat wykrytych zależności, uzyskamy je, wyznaczając porównania wielokrotne poprzez opcję Fisher, Yates i inne..., a następnie Wielokrotne porównania kolumn (RxC) i jedną z poprawek, np. Benjamini-Hochberg.

Dokładniejsza analiza pozwala stwierdzić, że specjaliści do spraw zdrowia istotnie częściej niż pozostałe grupy wykonują badania profilaktyczne (100% osób w tej grupie), a bezrobotni istotnie rzadziej (nikt w tej grupie nie wykonał badania). Rolnicy, inni pracownicy fizyczni i inni pracownicy umysłowi w około 50% wykonują badania profilaktyczne, co sprawia, że te trzy grupy nie różnią się od siebie istotnie statystycznie. Wartości \(p\) w tabeli oznaczone gwiazdką pochodzą z testu dokładnego Fishera z poprawką Benjaminiego-Hochberga, a wartości nieoznaczone – z testu chi-kwadrat z tą samą poprawką (tam, gdzie warunek Cochrana był spełniony).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \text{nie istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami w populacji,}\\ \mathcal{H}_1: & \text{istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami w populacji.} \end{array} \]

Wzory: sumy brzegowe wierszy definiujemy jako:

\[ W_i=\sum_{j=1}^cO_{ij}, \]

gdzie \(O_{ij}\) – liczności obserwowane w tabeli kontyngencji, a sumy brzegowe kolumn jako:

\[ K_i=\sum_{i=1}^rO_{ij}. \]

Przy ustalonych sumach brzegowych, dla różnych układów wartości obserwowanych oznaczonych jako \(U_{ij}\), wyznaczamy prawdopodobieństwa \(P\):

\[ P=\frac{D^{-1}\prod_{j=1}^{c}K_j!}{U_{1j}!U_{2j}!\dots U_{rj}}, \]

gdzie

\[ D=\frac{(W_1+W_2+\dots+W_r)!}{W_1!W_2!\dots W_r!}. \]

Interpretacja: dokładny poziom istotności \(p\) jest sumą tych prawdopodobieństw \(P\) (wyznaczonych dla nowych wartości \(U_{ij}\)), które są mniejsze lub równe prawdopodobieństwu \(P\) tabeli z wartościami początkowymi \(O_{ij}\).