Test t-Studenta dla pojedynczej próby

Test \(t\)-Studenta dla pojedynczej próby

Kiedy stosować ten test:

Test \(t\)-Studenta dla pojedynczej próby (ang. single-sample \(t\) test) służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba o średniej \(\overline{x}\) pochodzi z populacji, dla której średnia \(\mu\) to zadana wartość.

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu badanej cechy.

Uwaga! Gdy próba jest duża i znane jest odchylenie standardowe z populacji, statystykę testową można wyznaczyć z wzoru \(t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma}\sqrt n\), mającego wówczas rozkład normalny. Przy \(n \rightarrow \infty\) rozkład \(t\)-Studenta jest zbieżny do rozkładu normalnego \(N(0,1)\) – w praktyce przyjmuje się, że dla \(n>30\) rozkład \(t\)-Studenta można aproksymować rozkładem normalnym. Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych, tzn. średniej arytmetycznej, odchyleniu standardowym i liczności próby.

Definicje miar

d-Cohena – standaryzowana wielkość efektu, która określa, jak dużą częścią występującej zmienności jest różnica między średnimi. Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi wskazówkami określonymi przez Cohena[46], definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy parametryczne \(\to\) t-Student (lub poprzez Kreator).

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik kurier.pqs)
Chcemy sprawdzić, czy czas oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez pewną firmę kurierską to przeciętnie 3 dni (\(\mu_0=3\)). W tym celu z populacji klientów tej firmy wylosowano próbę liczącą 22 osoby i zapisano informacje o liczbie dni, jakie minęły od dnia nadania przesyłki do jej dostarczenia; były to następujące wielkości: (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7).

Liczba dni oczekiwania na przesyłkę w badanej populacji spełnia założenie normalności rozkładu.

\(p=0.088074\) (nieistotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Nie ma podstaw, by odrzucić hipotezę zerową mówiącą, że średnia liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę kurierską wynosi 3.

Dla badanej próby średnia to \(\overline{x}=3.727\), a odchylenie standardowe \(sd=1.907\).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\(\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \mu=\mu_0,\\ \mathcal{H}_1: & \mu\ne \mu_0, \end{array}\)

gdzie:
\(\mu\) – średnia cechy w populacji reprezentowanej przez próbę,
\(\mu_0\) – zadana wartość.

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{sd}\sqrt{n}, \]

gdzie:
\(sd\) – odchylenie standardowe z próby,
\(n\) – liczność próby.

Statystyka testowa ma rozkład \(t\)-Studenta z \(n-1\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

d-Cohena

\[ d=\left|\frac{\overline{x}-\mu_0}{sd}\right| \]