PQStat Współczynniki tabel kontyngencji i ich istotność statystyczna
Kiedy stosować:
Współczynniki kontyngencji pozwalają ocenić siłę zależności pomiędzy dwiema cechami zapisanymi na skali nominalnej. Wyliczane są dla danych w postaci surowej lub danych zebranych w tabelę kontyngencji.
Jak ustawić analizę
Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat, Fisher, OR/RR \(\to\) Współczynniki korelacji... (lub poprzez Kreator).
Definicje miar
Współczynnik kontyngencji \(Q\)-Yulea (ang. Yule's \(Q\) contingency coefficient, Yule (1900)[181]) – miara zależności wyznaczana dla tabel kontyngencji \(2\times2\). Wartość \(Q\) mieści się w przedziale \(\langle-1;1\rangle\): im bliższa 0, tym siła związku jest mniejsza, a im bliższa \(-1\) lub \(+1\), tym większa (ze względu na możliwe błędy w interpretacji wartości ujemnej, PQStat przedstawia wynik dodatkowo jako wartość bezwzględną). Współczynnik jest mało odporny na małe liczności obserwowane – gdy jedna z nich wynosi 0, może błędnie wskazywać całkowitą zależność cech.
Współczynnik kontyngencji \(\phi\) (ang. phi contingency coefficient) – miara zależności polecana szczególnie dla tabel \(2\times2\), choć możliwa do wyznaczenia dla dowolnych tabel. Wartość \(\phi\) mieści się w przedziale \(\langle0;1\rangle\): im bliższa 0, tym siła związku jest mniejsza, a im bliższa 1, tym większa.
Współczynnik kontyngencji \(V\)-Cramera (ang. Cramer's V contingency coefficient, Cramer (1946)[49]) – rozszerzenie współczynnika \(\phi\) na tabele \(r\times c\). Wartość \(V\) mieści się w przedziale \(\langle0;1\rangle\): im bliższa 0, tym siła związku jest mniejsza, a im bliższa 1, tym większa. Wartość \(V\) zależy od wielkości tabeli, więc nie powinno się go stosować do porównywania tabel o różnych wielkościach.
Współczynnik kontyngencji \(W\)-Cohena (ang. Cohen's w contingency coefficient, Cohen (1988)[46]) – modyfikacja współczynnika \(V\)-Cramera, możliwa do wyliczenia dla tabel \(r\times c\). Wartość \(W\) mieści się w przedziale \(\langle0;\max W\rangle\) (dla tabel, w których co najmniej jedna zmienna ma tylko dwie kategorie, przedział ten to \(\langle0;1\rangle\)). Podobnie jak \(V\), zależy od wielkości tabeli.
Współczynnik kontyngencji \(C\)-Pearsona (ang. Pearson's \(C\) contingency coefficient) – miara zależności dla tabel \(r\times c\). Wartość \(C\) mieści się w przedziale \(\langle0;1)\), a jej górna granica zależy od wielkości tabeli, dlatego wyznacza się także wersję dostosowaną do wielkości tabeli \(C_{adj}\), umożliwiającą porównania między tabelami różnej wielkości.
Wykonanie i interpretacja
Przykład 1. (plik płeć-egzamin.pqs)
Rozpatrzmy próbę składającą się z 170 osób (\(n=170\)), dla których badamy 2 cechy (\(X\)=płeć, \(Y\)=zdawalność egzaminu). Każda z tych cech występuje w dwóch kategoriach (\(X_1\)=k, \(X_2\)=m, \(Y_1\)=tak, \(Y_2\)=nie). Na podstawie tej próby chcielibyśmy się dowiedzieć, czy w badanej populacji istnieje zależność pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu. Rozkład danych przedstawia tabela kontyngencji:
| Liczności obserwowane | zdawalność egzaminu | |||
| \(O_{ij}\) | tak | nie | suma | |
| płeć | k | 50 | 40 | 90 |
| m | 20 | 60 | 80 | |
| suma | 70 | 100 | 170 | |
Wartość współczynników opartych o test \(\chi^2\), a zatem siła związku między badanymi cechami, wynosi:
Współczynnik kontyngencji \(C_{adj}\)-Pearsona = 0.42.
Współczynnik kontyngencji \(V\)-Cramera = \(\phi\) = \(W\)-Cohena = 0.31.
Współczynnik kontyngencji \(Q\)-Yulea = 0.58, a wartość \(p\) wykonanego testu \(Z\), podobnie jak poziom istotności testu \(\chi^2\), wskazuje na istotność statystyczną badanego związku.
Wzór – współczynnik kontyngencji \(Q\)-Yulea:
gdzie \(O_{11}, O_{12}, O_{21}, O_{22}\) – liczności obserwowane w tabeli kontyngencji.
Istotność statystyczną wyznaczonego współczynnika \(Q\)-Yulea określa się testem \(Z\).
Hipotezy:
\( \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: &Q=0,\\ \mathcal{H}_1: &Q\neq 0. \end{array} \)
Statystyka testowa ma postać:
Statystyka testowa ma asymptotycznie (dla dużych liczności \(n\)) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).
Wzór – współczynnik kontyngencji \(\phi\):
gdzie \(\chi^2\) – wartość statystyki testu \(\chi^2\), \(n\) – całkowita liczność w tabeli kontyngencji.
Wzór – współczynnik kontyngencji \(V\)-Cramera:
gdzie \(\chi^2\) – wartość statystyki testu \(\chi^2\), \(n\) – całkowita liczność w tabeli, a \(w'\) – mniejsza z dwóch wartości \(r\) i \(c\).
Wzór – współczynnik kontyngencji \(W\)-Cohena:
gdzie \(\chi^2\) – wartość statystyki testu \(\chi^2\), \(n\) – całkowita liczność w tabeli, a \(w'\) – mniejsza z dwóch wartości \(r\) i \(c\).
Wzór – współczynnik kontyngencji \(C\)-Pearsona:
gdzie \(\chi^2\) – wartość statystyki testu \(\chi^2\), \(n\) – całkowita liczność w tabeli. Górną granicę, jaką dla danej wielkości tabeli współczynnik \(C\) może osiągnąć, wyznacza wzór:
gdzie \(w'\) – mniejsza z dwóch wartości \(r\) i \(c\). Wersja dostosowana do wielkości tabeli: