Współczynnik korelacji wewnątrzklasowej i test badający jego istotność

Kiedy stosować:

Współczynnik korelacji wewnątrzklasowej (ang. ICC – intraclass correlation coefficient) stosuje się w sytuacji, gdy pomiarów badanej zmiennej dokonuje kilku „sędziów” (\(k\geq2\)). Mierzy on siłę sędziowskiej rzetelności, czyli stopień, w jakim ich oceny są zgodne. Ponieważ można go wyznaczać w kilku różnych sytuacjach, rozróżnia się kilka jego odmian, zależnych od modelu badania i typu zgodności.

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu dla wszystkich zmiennych będących różnicą par pomiarowych (lub normalność badanej zmiennej dla każdego pomiaru),
dla modelu 1 – model niezależny, dla modelu 2 / 3 – model zależny.

Definicje miar

W zależności od występującej w danych zmienności rozróżnia się 2 główne modele badań i 2 typy zgodności.

Model 1 – dla każdego z losowo wybranych \(n\) ocenianych obiektów wybierany jest losowo zestaw \(k\) sędziów z populacji sędziów, przy czym dla każdego obiektu może być wylosowany inny zestaw sędziów. Współczynnik ICC jest wówczas wyznaczany w modelu losowym ANOVA dla grup niezależnych. ICC(1,1) odpowiada na pytanie o rzetelność oceny pojedynczego sędziego, a ICC(1,k) – o rzetelność wyniku będącego średnią ocen \(k\) sędziów.

Model 2 – wybierany jest losowo zestaw \(k\) sędziów z populacji sędziów i każdy z nich ocenia wszystkie \(n\) losowych obiektów. Współczynnik ICC jest wówczas wyznaczany w modelu losowym ANOVA dla grup zależnych. W zależności od poszukiwanego typu zgodności można szacować:

zgodność bezwzględną – sędziowie są zgodni bezwzględnie, jeśli wydają dokładnie takie same oceny, np. perfekcyjnie zgodne będą oceny wydane przez parę sędziów (2,2), (5,5), (8,8);
spójność – sędziowie mogą używać innych zakresów wartości, ale poza tym przesunięciem nie powinno być różnic, by zachować spójność werdyktu, np. perfekcyjnie spójne będą oceny wydane przez parę sędziów (2,5), (5,8), (8,11).

Podobnie jak w modelu 1, ICC(2,1) odpowiada na pytanie o rzetelność oceny pojedynczego sędziego, a ICC(2,k) – o rzetelność wyniku będącego średnią ocen \(k\) sędziów (wzory różnią się w zależności od wybranego typu zgodności).

Uwaga! Czasami istnieje konieczność rozważenia modelu 3[152], tzn. wybierany jest zestaw \(k\) sędziów i każdy z nich ocenia wszystkie \(n\) losowych obiektów, przy czym wynik zgodności dotyczy tylko tych konkretnych \(k\) sędziów. Współczynnik ICC jest wówczas wyznaczany w modelu mieszanym (losowość dotyczy tylko obiektów, a nie sędziów). Ponieważ ignorujemy zmienność dotyczącą sędziów, badamy spójność (a nie absolutną zgodność) – zastosowanie mają wtedy współczynniki z modelu drugiego: ICC(2,1) i ICC(2,k), gdyż są one tożsame z pożądanymi w tym przypadku współczynnikami ICC(3,1) i ICC(3,k) przy założeniu braku interakcji obiektów i sędziów.

Interpretacja – wartość \(ICC\in\langle-1;1\rangle\) interpretujemy następująco:

\(ICC\approx1\) oznacza silną zgodność w ocenie poszczególnych obiektów przez sędziów, co ma odzwierciedlenie w dużej wariancji między obiektami (znacznej różnicy średnich między \(n\) obiektami) i małej wariancji między ocenami sędziowskimi (niewielkiej różnicy średnich ocen wyznaczonych dla \(k\) sędziów);
\(ICC\approx-1\) – ujemny współczynnik korelacji wewnątrzklasowej jest traktowany w ten sam sposób jak \(ICC\approx0\);
\(ICC\approx0\) oznacza brak zgodności w ocenie poszczególnych obiektów przez sędziów, co ma odzwierciedlenie w małej wariancji między obiektami (niewielkiej różnicy średnich między \(n\) obiektami) i dużej wariancji między ocenami sędziowskimi (znaczącej różnicy średnich ocen wyznaczonych dla \(k\) sędziów).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy parametryczne \(\to\) Korelacja wewnątrzklasowa (ICC) (lub poprzez Kreator).

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik natężenie dźwięku.pqs)
By skutecznie dbać o słuch pracowników zakładu pracy, w pierwszej kolejności należy rzetelnie oszacować natężenie dźwięku w poszczególnych miejscach przebywania osób. W pewnym zakładzie pracy postanowiono przed wyborem miernika natężenia dźwięku (sonografu) przeprowadzić eksperyment. Pomiarów natężenia dźwięku dokonano w 42 losowo wybranych na terenie zakładu punktach pomiarowych przy pomocy 3 wylosowanych sonografów analogowych i 3 losowo wybranych sonografów cyfrowych. Fragment zebranych pomiarów przedstawia poniższa tabela.

By sprawdzić, który typ urządzenia (analogowy czy cyfrowy) lepiej zrealizuje postawione przed nim zadanie, należy wyznaczyć współczynnik ICC w modelu 2, badając bezwzględną zgodność. Typ miernika o wyższym wskaźniku ICC będzie charakteryzował się bardziej wiarygodnymi pomiarami, przez co będzie w przyszłości wykorzystywany na terenie zakładu.

Analiza przeprowadzona dla mierników analogowych wskazuje na istotną zgodność pomiarów.

\(p<0.000001\) dla mierników analogowych (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Rzetelność pomiaru dokonana miernikiem analogowym wynosi \(ICC(2,1)=0.45\), a rzetelność pomiaru będącego średnią pomiarów trzech mierników analogowych wynosi \(ICC(2,k)=0.71\).

Niepokojąco niska jest jednak dolna granica 95% przedziału ufności dla tych współczynników. Podobna analiza przeprowadzona dla mierników cyfrowych dała lepsze rezultaty.

\(p<0.000001\) dla mierników cyfrowych (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Współczynniki ICC oraz ich przedziały ufności są znacznie wyższe niż dla mierników analogowych: \(ICC(2,1)=0.73\), \(ICC(2,k)=0.89\).

Dlatego ostatecznie w zakładzie pracy wykorzystywane będą mierniki cyfrowe. Zgodność uzyskanych wyników dla mierników cyfrowych przedstawiono na wykresie punktowym, gdzie każdy punkt pomiarowy opisany jest wartością natężenia dźwięku uzyskaną dla poszczególnych mierników.

Przedstawiając wykres dla uprzednio posortowanych danych zgodnie ze średnią wartością natężenia dźwięku, można sprawdzić, czy stopień zgodności rośnie lub spada wraz ze wzrostem natężenia dźwięku. W przypadku naszych danych nieco wyższą zgodność (bliskość położenia punktów na wykresie) obserwować można przy wysokich wartościach natężenia dźwięku. Podobnie, zgodność uzyskanych wyników obserwować można na wykresach Blanda-Altmana [8][23] budowanych oddzielnie dla każdej pary mierników. Wykres dla miernika I i miernika II przedstawiono poniżej.

Tu również obserwujemy wyższą zgodność (punkty koncentrują się blisko osi poziomej \(y=0\)) dla wyższych wartości natężenia dźwięku.

Uwaga! Gdyby badaczowi nie zależało na oszacowaniu rzeczywistej wartości natężenia dźwięku na terenie zakładu, ale chciałby wskazać miejsca, gdzie ten poziom jest wyższy niż w innych miejscach, lub sprawdzić, czy poziom hałasu zmienia się w czasie, wówczas wystarczającym modelem byłby model 2 badający spójność.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Model 1 – wzory:
ICC(1,1):

\[ ICC(1,1)=\frac{MS_{WG}-MS_{BG}}{MS_{WG}+(k-1)MS_{BG}}. \]

ICC(1,k):

\[ICC(1,k)=\frac{MS_{WG}-MS_{BG}}{MS_{WG}},\]

gdzie:
\(MS_{WG}\) – średnia kwadratów wewnątrz grup,
\(MS_{BG}\) – średnia kwadratów między obiektami.

Model 2 – zgodność bezwzględna – wzory:
ICC(2,1):

\[ ICC(2,1)=\frac{MS_{BS}-MS_{res}}{MS_{BS}+(k-1)MS_{res}+\frac{k}{n}(MS_{BC}-MS_{res})}. \]

ICC(2,k):

\[ICC(2,k)=\frac{MS_{BS}-MS_{res}}{MS_{BS}+(MS_{BC}-MS_{res})/n},\]

gdzie:
\(MS_{BC}\) – średnia kwadratów między sędziami,
\(MS_{BS}\) – średnia kwadratów między obiektami,
\(MS_{res}\) – średnia kwadratów dla reszt.

Model 2 – spójność – wzory:
ICC(2,1):

\[ ICC(2,1)=\frac{MS_{BS}-MS_{res}}{MS_{BS}+(k-1)MS_{res}}, \]

ICC(2,k):

\[ICC(2,k)=\frac{MS_{BS}-MS_{res}}{MS_{BS}},\]

gdzie:
\(MS_{BS}\) – średnia kwadratów między obiektami,
\(MS_{res}\) – średnia kwadratów dla reszt.

Test F do sprawdzania istotności współczynnika korelacji wewnątrzklasowej
Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & ICC=0 \\ \mathcal{H}_1: & ICC\neq 0 \quad(ICC=1) \end{array}\)

Wzory:
Statystyka testowa ma postać:

\[ F=\frac{MS_{BS}}{MS_{res}} \textrm{ -- w modelu zależnym,} \]

lub

\[ F=\frac{MS_{WG}}{MS_{BG}} \textrm{ -- w modelu niezależnym.} \]

Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora ze zdefiniowaną w modelu liczbą stopni swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).