ANALIZA LOSOWOŚCI ROZKŁADU PUNKTÓW

By przeprowadzić analizę losowości rozkładu punktów powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu: punkt, wielopunkt lub wielokąt. W przypadku analizy wielokątów obliczenia oparte są na centroidach, a przypadku wielopunktów na centrach obiektów.
Efekt równomiernego rozproszenia występuje wówczas, gdy punkty są rozłożone bardziej regularnie niż mogłoby to wynikać z rozkładu losowego. Jeśli uzyskany rozkład przestrzenny jest tak samo prawdopodobny jak w każdy inny rozkład - mówimy wówczas o przestrzennej losowości. Gdy punkty grupują się, to możemy mówić o występowaniu rozkładu skupiskowego.

Analiza najbliższego sąsiedztwa

W Analizie najbliższego sąsiedztwa (ang. Nearest Neighbor Analysis) granice obszaru, w którym zamknięte są analizowane punkty, mają zasadniczy wpływ na uzyskany wynik. Poniższy przykład daje obraz regularnie rozłożonych punktów, gdy ich granicą jest mały prostokąt i rozkładu skupiskowego, gdy ich granicą jest duży prostokąt.

Granice, w zależności od potrzeb, mogą być zdefiniowane za pomocą: otoczki wypukłej, najmniejszego prostokąta, prostokąta z granic warstwy lub najmniejszego okręgu. Badany obszar może być również zdefiniowany jedynie przez wielkość swojego pola.
Odległość pomiędzy punktami mierzona jest metryką Euklidesową.
Pierwszym etapem analizy najbliższego sąsiedztwa jest wyliczenie odległości pomiędzy wszystkimi punktami. Następnie dla każdego punktu szukany jest punkt, który jest położony najbliżej tzw. najbliższe sąsiedztwo (\(NN\)).
Uwaga!
Odległości pomiędzy wszystkimi punktami definiowane są poprzez macierz wag. W oknie analizy najbliższego sąsiedztwa możemy wybrać macierz wag wygenerowaną wcześniej za pomocą menu Analiza przestrzenna \(\to\) Narzędzia \(\to\) Macierz wag przestrzennych lub wskazać proponowaną przez program macierz wszystkich odległości wyliczanych zgodnie z metryką Euklidesową.
Podstawowe statystyki dla analizy najbliższych sąsiadów:

• \(d_i(NN)\) –odległość każdego punktu od jego najbliższego sąsiada,

• \(\overline{NN}\) –średnia odległość najbliższych sąsiadów:

  \[ \overline{NN}=\sum_{i=1}^n\frac{d_i(NN)}{n} \]
• \(SD_{(NN)}\) –odchylenie standardowe odległości najbliższych sąsiadów,

• \(\overline{ran}\) –średnia oczekiwana odległość najbliższych sąsiadów:

  \[ \overline{ran}=\frac{0.5}{\sqrt{\frac{n}{A}}} \]

Współczynnik Najbliższego Sąsiedztwa

Współczynnik Najbliższego Sąsiedztwa (ang. Nearest Neighbor Index (NNI)) bazuje na metodzie opisanej przez botaników: Clarka i Evansa (1954) [4]. \(NNI\) porównuje obserwowane odległości pomiędzy najbliższymi punktami oraz odległości, które pojawiłyby się dla losowego rozkładu punktów.

\[ NNI=\frac{\overline{NN}}{\overline{ran}} \]

Kiedy porównywane odległości są takie same, wówczas \(NNI=1\). Kiedy obserwowane odległości pomiędzy najbliższymi punktami są mniejsze niż oczekiwane, wówczas punkty są bliżej siebie niż w rozkładzie losowym i \(NNI<1\). Tworzą się skupiska. Gdy jest odwrotnie, wówczas \(NNI>1\), co świadczy o występowaniu efektu równomiernego rozproszenia, czyli punkty są regularniej umiejscowione niż wynikałoby to z ich losowego rozkładu.

Istotności Współczynnika Najbliższego Sąsiedztwa

Test do sprawdzania istotności Współczynnika Najbliższego Sąsiedztwa \(NNI\) służy do weryfikacji hipotezy o tym, że obserwowane odległości pomiędzy najbliższymi punktami są takie same jak oczekiwane odległości, które pojawiłyby się dla losowego rozkładu punktów.
Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & NNI = 1, \\ \mathcal{H}_1: & NNI \ne 1. \end{array}\)

Statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{\overline{NN}-\overline{ran}}{SE_{\overline{ran}}}, \]

gdzie:

\(\begin{array}{cl} SE_{(ran)} = \sqrt{\frac{4-\pi A}{4\pi n^2}} & \textrm{\textendash błąd standardowy średniej oczekiwanej odległości}\\ &\textrm{najbliższych sąsiadów } \end{array}\)

Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wartość \(p\), wyznaczoną na podstawie statystyki testowej, porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\) :

\[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ przyjmując } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

Analiza kolejnych najbliższych sąsiadów

By analizować kolejnych najbliższych sąsiadów, bierze się pod uwagę odległość do drugiego najbliższego sąsiada, trzeciego najbliższego sąsiada, aż do \(k\)-tego najbliższego sąsiada. Dla sąsiedztwa każdego stopnia (od najbliższego sąsiedztwa do sąsiedztwa \(k\)-tego stopnia) wylicza się kolejne Współczynniki Najbliższego Sąsiedztwa \(k_{ordered}NNI\):

\[ k_{ordered}NNI=\frac{k_{ordered}\overline{NN}}{k_{ordered}\overline{ran}} \]

gdzie:
\(\displaystyle k_{ordered}\overline{NN}\) –średnia odległość do sąsiadów \(k\)-tego stopnia,
\(\displaystyle k_{ordered}\overline{ran}=\frac{k(2k)!}{\left(2^kk!\right)^2\sqrt{\frac{n}{A}}}\) –średnia oczekiwana odległość do sąsiadów \(k\)-tego stopnia.

Wyniki analizy gęstości punktów przeprowadzanej dla kolejnych sąsiadów można przedstawić na wykresie, aby zobrazować w ten sposób położenie współczynników \(NNI\) w stosunku do linii wskazującej losową strukturę punktów oraz by sprawdzić, czy dla współczynników uzyskano trend rosnący lub malejący.

Efekt krawędzi

Obiekty znajdujące się blisko granicy wykazują tendencję do większego oddalenia od najbliższych sąsiadów, niż inne obiekty znajdujące się w obszarze analizy. Wynika to z prostego faktu, że najbliżsi sąsiedzi obiektów przygranicznych mogą znajdować się poza granicami badanego obszaru. W takiej sytuacji można przeprowadzić analizę z korektą efektu granicy.

Wówczas odległość punktu od jego najbliższego sąsiada (\(d_i(NN)\)) jest wyliczana jako minimum odległości punktu od jego sąsiadów i od granicy. Jeśli więc odległość punktu od granicy będzie mniejsza niż do jego sąsiadów, wówczas za \(d_i(NN)\) przyjmowana jest odległość do granicy. Jednakże takie wyliczenie najbliższego sąsiedztwa wymaga założenia, że na granicy zawsze znajduje się punkt uznawany za sąsiada.

Okno z ustawieniami opcji analizy najbliższego sąsiedztwa wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna\(\to\)Statystyki przestrzenne\(\to\)Analiza najbliższego sąsiedztwa.

Przykład 1. (katalog: districts, pliki SHP: districts) Podział administracyjny Polski na powiaty z założenia powinien być równomierny. Czy tak rzeczywiście jest, sprawdzimy przy użyciu współczynnika NNI.

• Mapa districts zawiera informacje o lokalizacji wielokątów (powiatów Polski).

Analiza najbliższego sąsiedztwa będzie się opierać na centroidach reprezentujących powiaty. Możemy je wyrysować (dodać warstwę centroid do mapy powiatów) korzystając z Menadżera map.

Analizę najbliższego sąsiedztwa przeprowadzimy wykorzystując informację o wielkości pola powierzchni Polski –wynosi ono \(311888000000m^2\). Oprócz współczynnika pierwszego sąsiedztwa wyliczymy też współczynniki kolejnego sąsiedztwa aż do 15.

Podając wielkość pola w oknie analizy, uzyskano współczynnik najbliższego sąsiedztwa równy 1.37127 i istotnie statystycznie większy od wartości 1 (\(p<0.000001\)). Średnia odległość pomiędzy najbliższymi sąsiednimi centroidami wynosi \(19668.564923m\) a odchylenie standardowe to \(9102.84769m\). Bardzo podobny rezultat uzyskamy, gdy powrócimy do analizy (przycisk ) i jako obwiednię obiektów wybierzemy otoczkę wypukłą (\(NNI=1.382828\), \(p<0.000001\)).

Granice wyznaczone przez otoczkę wypukłą dodajemy do mapy uruchamiając przycisk i wybierając warstwę obwiedni obiektów.

Zastosowanie korekty efektu tak rozumianej granicy obniża wartość \(NNI\) do 1.340503 ale pozostawia niezmienioną ogólną tendencję kolejnych współczynników najbliższego sąsiedztwa.

W każdej z powyższych analiz kolejne współczynniki sąsiedztwa są większe niż 1 i mimo, że początkowo zbliżają się do 1, to od stopnia 5 stabilizują się na poziomie ok 1.1. Uzyskany wynik potwierdza zatem równomierne rozłożenie powiatów w Polsce.

Przykład 2. (katalog: poplar, pliki SHP: T-poplar, S-poplar) Konkurencja międzygatunkowa wpływa na zmiany w rozmieszczeniu poszczególnych gatunków roślin i ich zagęszczeniu. Konkurencja wewnątrzgatunkowa jest zwykle silniejsza od konkurencji międzygatunkowej, gdyż osobniki tego samego gatunku mają niemal identyczne wymagania i współzawodniczą o te same zasoby. Natężenie konkurencji wewnątrzgatunkowej rośnie wraz ze wzrostem liczebności populacji. By sprawdzić wpływ konkurencji na pewien gatunek topoli balsamicznej, analizie poddano obszar leśny nie regulowany przez człowieka. Badano lokalizację drzew młodych i drzew dorosłych.

• Mapa T-poplar zawiera fikcyjne informacje o lokalizacji 121 punktów (dużych topoli balsamicznych) w prostokątnym wycinku lasu.
• Mapa S-poplar zawiera fikcyjne informacje o lokalizacji 326 punktów (małych topoli balsamicznych) w prostokątnym wycinku lasu.

Na mapie drzewa młode (małe) oznaczono kolorem czerwonym a drzewa dorosłe (duże) kolorem niebieskim.
Na podstawie współczynników najbliższego sąsiedztwa, w obszarze wyznaczonym przez prostokąt z granic warstwy, porównana została struktura zagęszczenia topoli.

Drzewa młode występują gęściej niż drzewa dorosłe. Ich średnia odległość najbliższych sąsiadów wynosi \(103.12m\), podczas gdy dla drzew dorosłych \(282.27m\). Konkurencja w rozwoju struktury drzewostanu sprawia, że przestrzenny wzór dużych drzew jest bardziej regularny (\(NNI=1.68\), \(p<0.000001\)) niż w przypadku drzew małych (\(NNI=1.01\), \(p=0.8498\)).

By przeprowadzić analizę autokorelacji powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu: punkt, wielopunkt lub wielokąt. W przypadku analizy wielokątów bazujących na odległościach obiektów obliczenia oparte są na centroidach, a przypadku wielopunktów na centrach obiektów.
Analiza zjawiska autokorelacji przestrzennej opiera się na wartościach przypisanych obiektom przestrzennym. Autokorelacja przestrzenna oznacza, że wartości obiektów bliskich geograficznie są bardziej podobne do siebie niż tych odległych. Zjawisko to powoduje tworzenie się klasterów przestrzennych o wartościach podobnych.
Autokorelacja przestrzenna może nie występować – mówimy wówczas o przestrzennej losowości. Uzyskany rozkład przestrzenny jest tak samo prawdopodobny jak w każdy inny rozkład. Gdy wartości sąsiednie są sobie podobne, to możemy mówić o występowaniu autokorelacji dodatniej. Ujemna autokorelacja występuje wówczas, gdy wartości obszarów sąsiednich są bardziej różne niż mogłoby to wynikać z rozkładu losowego.

i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i

i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i

i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i
i	i	i	i	i	i	i	i

Analizując autokorelację możemy rozważać zmienną dychotomiczną (tzn. występowanie lub brak danej cechy) lub zmienną o wielu kategoriach wskazującą na stopień intensywności analizowanej cechy.
Dla zmiennej dychotomicznej analiza dodatniej autokorelacji polega na wyszukiwaniu skupisk jednakowych wartości. Na płaszczyźnie mapy zwykle obiekty, w których występuje badane zjawisko oznaczone są kolorem czarny a jego brak kolorem białym. Wyszukiwane są skupiska obiektów o takim samym kolorze tzw. "black-black","white-white".
Dla zmiennej opisującej stopień intensywności badanej cechy, analiza dodatniej autokorelacji polega na wyszukiwaniu skupisk podobnych wartości. Na płaszczyźnie mapy zwykle obiekty kolorowane są zgodnie ze stopniem nasilenia badanego zjawiska od najjaśniejszych (niskich wartości) do najciemniejszych (wysokich wartości) . Wyszukiwane są skupiska obiektów o podobnym odcieniu.

Jest to analiza, która bada stopień intensywności danej cechy w obiektach przestrzennych.
Do budowy współczynnika, który pozwoli sprawdzić czy sąsiadujące obiekty tworzą klastery o podobnych wartościach zmiennej, wykorzystujemy dwie informacje:

1. informacje o wartościach zmiennej dla poszczególnych obiektów \(x_i\),
2. informacje o tym, które obiekty sąsiadują – macierz wag o elementach \(w_{ij}\).

Uwaga!
Sąsiedztwo obiektów definiowane jest poprzez macierz wag. W oknie analizy Morana możemy wybrać dowolną macierz wag wygenerowaną wcześniej za pomocą menu Analiza przestrzenna \(\to\) Narzędzia \(\to\) Macierz wag przestrzennych lub wskazać proponowaną przez program macierz sąsiedztwa według wspólnej granicy – Queen, standaryzowaną rzędami.
Uwaga!
Nie zaleca się przeprowadzania analizy Morana dla obiektów nie posiadających sąsiedztwa (obiektów opisanych w macierzy wag wyłącznie wartością 0). Obiekty takie można wykluczyć z analizy dezaktywując je, lub przeprowadzić analizę wybierając inny sposób definiowania sąsiedztwa (inną macierz wag).

Współczynnik autokorelacji Morana

– wprowadzony przez Morana w roku 1948 [9].
By sprawdzić, czy wybrane obiekty są charakteryzowane przez podobne wartości zmiennej, można wykorzystać zasadę mnożenia mówiącą, że mnożenie 2 wartości tego samego znaku daje wynik pozytywny, a 2 różnych znaków wynik negatywny. Stosując tą zasadę wyliczamy \(\sum\sum x_ix_j\). Niestety, ze względu na to, że efekty działania tej zasady są osiągane wtedy, gdy istnieją zarówno dodatnie jak i ujemne wartości, ta prosta formuła musi być zmodyfikowana tak, by zapewnić występowanie wartości różnych znaków. Wartości zmiennej zostaną więc zastąpione we wcześniejszym wzorze przez różnice wartości zmiennej i jej wartości średniej. W ten sposób obiekty o wartościach mniejszych niż średnia będą ujemne, a te o wartościach większych od średniej dodatnie: \(\sum\sum(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})\). Oczywiście sumowanie powinno dotyczyć sąsiednich obiektów, co oznacza, że musi być w tym miejscu wykorzystana informacja z macierzy wag:

\[ \sum\sum w_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x}) \]

W ten sposób obiekty niesąsiadujące uzyskują wartość wagi równą 0, co powoduje, że ich wartości nie są sumowane. Dalsze zabiegi zmieniające uzyskaną w ten sposób formułę mają za zadanie uniezależnić uzyskany współczynnik \(I\) od ilości analizowanych obiektów i wystandaryzować tak, by jego wartości były ograniczone do przedziału \(<-1; 1>\). W rezultacie współczynnik autokorelacji Morana wyraża się wzorem:

\[ I=\frac{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}\left(x_i-\overline{x}\right)\left(x_j-\overline{x}\right)}{S_0\sigma^2} \]

gdzie:
\(n\) – liczba obiektów przestrzennych (liczba punktów lub wielokątów),
\(x_i\), \(x_j\) – to wartości zmiennej dla porównywanych obiektów,
\(\overline{x}\) – to średnia wartość zmiennej dla wszystkich obiektów,
\(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag (macierz wag standaryzowana rzędami do jedynki),
\(S_0=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}\),
\(\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n}\) – wariancja

Współczynnik autokorelacji liniowej Morana \(I\) bada siłę związku liniowego pomiędzy standaryzowaną zmienną \(X\) (\(stand(x_i)\)) a opóźnieniem przestrzennym zmiennej \(X\) (\(L(x_i)\)). Opóźnienie przestrzenne (ang. spatial lag) jest średnią ważoną ze standaryzowanych wartości sąsiadujących obiektów:

\[ L(x_i)=\sum_{j=1}^Nw_{ij}stand(x_j). \]

Graficzną prezentacją autokorelacji przestrzennej jest wykres rozrzutu Morana. Punkty znajdujące się w ćwiartce pierwszej (HH) i trzeciej (LL), to obiekty otoczone przez podobnych sąsiadów: HH (wysokie-wysokie) – obiekty o wysokich wartościach otoczone przez obiekty o wysokich wartościach; LL (niskie-niskie) – obiekty o niskich wartościach otoczone przez obiekty o niskich wartościach. Punkty znajdujące się w ćwiartce drugiej (LH) i czwartej (HL) to obiekty otoczone przez sąsiadów do nich niepodobnych. LH (niskie-wysokie) – obiekty o niskich wartościach otoczone przez obiekty o wysokich wartościach; HL (wysokie-niskie) – obiekty o wysokich wartościach otoczone przez obiekty o niskich wartościach.

Wykres Morana

Przynależność i rozmieszczenie punktów w czterech ćwiartkach wykresu Morana wskazuje na rodzaj autokorelacji. Jeśli punkty rozłożone są głównie w ćwiartce drugiej (LH) i czwartej (HL) – świadczy to o ujemnej autokorelacji, gdy należą głównie do ćwiartki pierwszej (HH) i trzeciej (LL) – świadczy to o autokorelacji dodatniej. Gdy punkty rozkładają się równomiernie we wszystkich czterech ćwiartkach, wówczas autokorelacja przestrzenna nie istnieje.
Na wykresie Morana rysowana jest też linia regresji, której kierunek również pozwala na interpretację współczynnika Morana \(I\):

• \(I>0\) oznacza występowanie klasterów podobnych wartości – dodatnią autokorelację, tj. punkty pomiarowe leżą blisko linii prostej a wzrostowi zmiennej \(standX\) odpowiada wzrost zmiennej \(L(X)\);
• \(I<0\) oznacza występowanie tzw. hot spots czyli zdecydowanie różnych wartości w obszarach sąsiedzkich – ujemną autokorelację, tj. punkty pomiarowe leżą blisko linii prostej, lecz wzrostowi zmiennej \(standX\) odpowiada spadek \(L(X)\);
• \(I \approx 0\) oznacza losowe rozłożenie się badanej wartości w przestrzeni – brak autokorelacji, tj. uzyskany rozkład przestrzenny jest tak samo prawdopodobny jak każdy inny rozkład.

Kwadrat współczynnika Morana \(I^2\) informuje o stopniu (jest to procent), w jakim wartość zmiennej w obiekcie \(i\) jest tłumaczona przez wartość tej zmiennej w obiektach sąsiednich.
Uwaga!
Gdy wartości badanej cechy charakteryzuje duża zmienność wariancji, wówczas pożądane jest jej ustabilizowanie. Podstawowe informacje na temat wygładzania zmiennych zostały opisane w rozdziale WYGŁADZANIE PRZESTRZENNE ZMIENNEJ WYGŁADZANIE PRZESTRZENNE ZMIENNEJ

Istotność współczynnika autokorelacji Morana

Test do sprawdzania istotności współczynnika autokorelacji Morana służy do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji pomiędzy \(standX\) a opóźnieniem przestrzennym \(L(X)\).
Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & I = 0, \\ \mathcal{H}_1: & I \ne 0. \end{array}\)

Statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{I-E(I)}{\sqrt{var(I)}}, \]

gdzie:
\(\displaystyle E(I)=\frac{-1}{n-1}\) – wartość oczekiwana,
\(\displaystyle var(I)\) – wariancja.
W zależności od założenia dotyczącego rozkładu populacji, z której pochodzi próba, wybierany jest sposób wyznaczania wariancji (Cliff i Ord (1981)[5], oraz Goodchild (1986)[8]). Jeśli jest to rozkład normalny, wówczas:

\[ var(I)=\frac{n^2S_1-nS_2+3S_0^2}{S_0^2(n^2-1)}-E(I)^2, \]

gdzie:
\(S_1=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left(w_{ij}+w_{ji}\right)^2\),
\(S_2=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^nw_{ij}+\sum_{j=1}^nw_{ji}\right)^2\).

Jeśli rozkład jest losowy, wówczas:

\[ var(I)=\frac{n\left((n^2-3n+3)S_1-nS_2+3S_0^2\right)}{(n-1)^{(3)}S_0^2}-\frac{K_2\left((n^2-n)S_1-2nS_2+6S_0^2\right)}{(n-1)^{(3)}S_0^2}-E(I)^2, \]

gdzie:
\(K_2=\frac{n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^4}{\left(\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\right)^2}\),
\(n^{(b)}=n(n-1)(n-2)...(n-b+1)\).

Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\) :

\[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ przyjmując } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

Okno z ustawieniami opcji analizy Morana wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Statystyki przestrzenne \(\to\) Statystyka globalna I Morana.

Przykład 3. (katalog: leukemia, plik: leukemia.pqs) Analizie poddamy dane zebrane i przeanalizowane przez L.A. Wallera i innych w roku 1992[12] i 1994[13], opisane na 281 obiektach w roku 2004[14].

• Mapa leukemia zawiera informacje o lokalizacji 281 wielokątów (regionów spisowych (ang.census tracts)) w północnej części stanu New York. Mapa została przygotowana w układzie współrzędnych prostokątnych płaskich UTM 18N, i bazuje na danych pliku BNA (Boundary File) dostępnego na serwerze CIESIN ftp.ciesin.columbia.edu
• Dane do mapy leukemia:
  • Kolumna CASES – liczba przypadków białaczki w latach 1978-1982 przypisana do poszczególnych obiektów (regionów spisowych). Wartość ta powinna być liczbą całkowitą, tu jednak, zgodnie z opisem Wallera (1994) część przypadków, która nie mogła zostać obiektywnie przypisana do konkretnego regionu, została podzielona proporcjonalnie. Stąd liczności przypadków przypisanych do 281 obiektów nie są liczbami całkowitymi.
  • Kolumna POP – liczność populacji w poszczególnych obiektach.
  • Kolumna prev – współczynnik częstości występowania białaczki na 100000 osób, dla każdego obiektu w jednym roku: prev=(CASES/POP)*100000/5

Interesujące z epidemiologicznego punktu widzenia są regiony, gdzie częstość występowania białaczki jest wyższa. Ich zgrupowanie bowiem, mogłoby wskazywać na istnienie w ich obrębie teratogenów środowiskowych, będących przyczyną zwiększonej częstości występowania białaczki.
Zaczynamy od przedstawienia rozkładu geograficznego współczynnika częstości (prev) na mapie. W tym celu wyrysowujemy mapę w Menadżerze Map i edytujemy warstwę wybierając Stopniowanie kolorów:

Mamy do dyspozycji kilka sposobów kolorowania mapy - tu wybieramy kolorowanie zgodnie z wartościami zmiennej prev dzieląc ją na kwartyle:

Kolory ciemne na mapie obrazują miejsca o wyższym współczynniku częstości białaczki, miejsca jasne to niski współczynnik. By dowiedzieć się, czy ich rozkład geograficzny jest losowy, czy tworzą one skupiska, wyliczymy współczynnik Morana. Przed wyliczeniem tego współczynnika należy zdecydować w jaki sposób definiowane będzie sąsiedztwo regionów i najlepiej utworzyć odpowiednią macierz wag. W oknie analizy Morana możemy wybrać dowolną macierz wygenerowaną wcześniej za pomocą menu Analiza przestrzenna \(\to\) Narzędzia \(\to\) Macierz wag przestrzennych lub wskazać proponowaną przez program macierz sąsiedztwa według wspólnej granicy – Queen, standaryzowaną rzędami.

Po wygenerowaniu macierzy wag, zaznaczamy plik leukemia i przystępujemy do analizy Morana wybierając menu Analiza przestrzenna \(\to\) Statystyki przestrzenne \(\to\) Statystyka globalna I Morana. W oknie analizy wybieramy zmienną Prev i standaryzowaną rzędami macierz sąsiedztwa Queen, oraz zaznaczamy opcję Dołącz wykres.
Współczynnik korelacji Morana uzyskany w analizie jest niewielki i wynosi \(I=0.048577\):

Testując istotność współczynnika Morana, badamy losowość rozkładu współczynnika częstości białaczki na badanym obszarze. Sprawdzamy, czy podobne odcienie na mapie są ulokowane blisko siebie, czy też nie. Inaczej mówiąc: sprawdzamy czy szansa zachorowania na białaczkę w badanej populacji zależy od lokalizacji geograficznej czy też nie. Wartość \(p\) wyliczona przy założeniu losowości, jak przy założeniu normalności jest większa niż standardowo przyjmowany poziom istotności 0.05, co oznacza brak dowodów na autokorelację. Przyjmujemy więc, że rozkład zmiennej prev jest rozkładem losowym. Potwierdzeniem tego jest wykres Morana:

Istnienie dodatniej autokorelacji, którą jesteśmy najbardziej zainteresowani, skutkowałoby rozmieszczeniem punktów wykresu Morana w ćwiartce I i III. Tu widzimy jednak, że punkty znajdują się równie często w ćwiartce I i III jak w II i IV.

Podobnie jak analiza Morana statystyka globalna Gearego bada stopień intensywności danej cechy w obiektach przestrzennych.
Uwaga!
Nie zaleca się przeprowadzania analizy Gearego dla obiektów nie posiadających sąsiedztwa (obiektów opisanych w macierzy wag wyłącznie wartością 0). Obiekty takie można wykluczyć z analizy dezaktywując je (Rozdział OGRANICZENIE OBSZARU ROBOCZEGO), lub przeprowadzić analizę wybierając inny sposób definiowania sąsiedztwa (inną macierz wag).

Współczynnik autokorelacji Gearego

– wprowadzony przez Gearego w roku 1954 [7].
Jest jedną z możliwych alternatyw dla statystyki globalnej Morana. Podobnie jak analiza Morana bada ona stopień intensywności danej cech \(x_i\) w obiektach przestrzennych opisanych za pomocą macierzy wag o elementach \(w_{ij}\). Tym razem zamiast wyliczania sumy iloczynów : \(\sum\sum w_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})\) wyliczana jest suma kwadratów różnic:

\[ \sum\sum w_{ij}(x_i-x_j)^2 \]

W rezultacie współczynnik autokorelacji Gearego wyraża się wzorem:

\[ c=\frac{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}(x_i-x_j)^2}{2 S_0 sd^2} \]

gdzie:
\(n\) – liczba obiektów przestrzennych (liczba punktów lub wielokątów),
\(x_i\), \(x_j\) – to wartości zmiennej dla porównywanych obiektów,
\(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag (macierz wag standaryzowana rzędami do jedynki),
\(S_0=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}\),
\(sd^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}\) – wariancja,
\(\overline{x}\) – to średnia wartość zmiennej dla wszystkich obiektów.

Interpretacja współczynnika Gearego:

• \(c<1\) i \(c \approx 0\) oznacza występowanie klasterów podobnych wartości – dodatnią autokorelację;
• \(c>1\) oznacza występowanie tzw. hot spots czyli zdecydowanie różnych wartości w obszarach sąsiedzkich – ujemną autokorelację;
• \(c \approx 1\) oznacza losowe rozłożenie się badanej wartości w przestrzeni – brak autokorelacji.

Uwaga!
Gdy wartości badanej cechy charakteryzuje duża zmienność wariancji, wówczas pożądane jest jej ustabilizowanie. Podstawowe informacje na temat wygładzania zmiennych zostały opisane w rozdziale WYGŁADZANIE PRZESTRZENNE ZMIENNEJ WYGŁADZANIE PRZESTRZENNE ZMIENNEJ

Istotności współczynnika autokorelacji Gearego

Test do sprawdzania istotności współczynnika autokorelacji Gearego służy do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji przestrzennej.
Hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & C = 1, \\ \mathcal{H}_1: & C \ne 1. \end{array}\)

Statystyka testowa ma postać:

\[ Z=\frac{C-E(C)}{\sqrt{var(C)}}, \]

gdzie:
\(\displaystyle E(C)=1\) – wartość oczekiwana,
\(\displaystyle var(C)\) – wariancja.
W zależności od założenia dotyczącego rozkładu populacji, z której pochodzi próba, wybierany jest sposób wyznaczania wariancji (Cliff i Ord (1981)[5], oraz Goodchild (1986)[8]). Jeśli jest to rozkład normalny, wówczas:

\[ var(C)=\frac{(2S_1+S_2)(n-1)-4S_0^2}{2(n+1)S_0^2}, \]

gdzie:
\(S_1\) i \(S_2\) zdefiniowane są jak dla analizy Morana.

Jeśli rozkład jest losowy, wówczas:
\(var(CS)=\frac{(n-1)S_1\left(n^2-3n+3-(n-1)b_2\right)-(n-1)S_2\left(n^2+3n-6-(n^2-n+2)b_2\right)\frac{1}{4}+S_0^2\left(n^2-3-(n-1)^2b_2\right)}{n(n-2)^{(2)}S_0^2},\)

gdzie:
\(b_2=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^4}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\right)^2}\),
\(n^{(b)}=n(n-1)(n-2)...(n-b+1)\).

Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\) :

\[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ przyjmując } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

Okno z ustawieniami opcji analizy Gearego wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Statystyki przestrzenne \(\to\) Statystyka globalna C Gearego.

Przykład 3 c.d. (katalog: leukemia, plik: leukemia)
Analizie poddamy dane dotyczące białaczki.

• Mapa leukemia zawiera informacje o lokalizacji 281 wielokątów (regionów spisowych (ang.census tracts)) w północnej części stanu New York. s
• Dane do mapy leukemia:
  • Kolumna CASES – liczba przypadków białaczki w latach 1978-1982 przypisana do poszczególnych obiektów (regionów spisowych). Wartość ta powinna być liczbą całkowitą, tu jednak, zgodnie z opisem Wallera (1994) część przypadków, która nie mogła zostać obiektywnie przypisana do konkretnego regionu, została podzielona proporcjonalnie. Stąd liczności przypadków przypisanych do 281 obiektów nie są liczbami całkowitymi.
  • Kolumna POP – liczność populacji w poszczególnych obiektach.
  • Kolumna prev – współczynnik częstości występowania białaczki na 100000 osób, dla każdego obiektu w jednym roku: prev=(CASES/POP)*100000/5

W analizie lokalnej staramy się zdefiniować klastery poprzez ich lokalizację rozmiar i intensywność. Klaster rozumiany jest tu jako ograniczone skupisko obiektów o pewnej intensywności zlokalizowane w przestrzeni i/lub czasie, dla którego przypadkowe pojawienie się jest bardzo mało prawdopodobne. Jeśli więc zidentyfikujemy skupisko, które nie jest dziełem przypadku - a zatem istotny statystycznie klaster, wówczas możemy dociekać przyczyn jego powstania.

Lokalna wersja statystyki Morana jest najbardziej popularną analizą określaną jako LISA (Local Indicators of Spatial Association) (Luc Anselin 1995 [1]). W odróżnieniu od globalnej statystyki Morana wyznacza ona lokalną autokorelację przestrzenną, a zatem określa podobieństwo jednostki przestrzennej wobec sąsiadów i bada istotność statystyczną tej zależności.

Lokalny współczynnik autokorelacji Morana

Lokalna postać współczynnika \(I\) Morana dla obserwacji \(i\) określona jest wzorem:

\[ I_i=\frac{\left(x_i-\overline{x}\right)\sum_{j=1}^nw_{ij}\left(x_j-\overline{x}\right)}{\sigma^2} \]

gdzie:
\(n\) – liczba obiektów przestrzennych (liczba punktów lub wielokątów),
\(x_i\), \(x_j\) – to wartości zmiennej dla porównywanych obiektów,
\(\overline{x}\) – to średnia wartość zmiennej dla wszystkich obiektów,
\(w_{ij}\) – elementy przestrzennej macierzy wag (zalecana jest macierz standaryzowanej rzędami do jedynki),
\(\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}\) – wariancja

Interpretacja lokalnego współczynnika Morana jest analogiczna do jego globalnego odpowiednika jednak w znacznym stopniu zależy od wybranej macierzy wag. Najczęściej wagi niezerowe są przypisywane tylko do obiektów sąsiadujących, w rezultacie współczynnik lokalny określa podobieństwo jedynie obiektów znajdujących się w strefie sąsiedztwa. Standaryzacja rzędami do jedynki ułatwia natomiast porównywanie wartości współczynników uzyskanych dla różnych obiektów, gdyż wartość oczekiwana dla każdego współczynnika jest wówczas taka sama.
Wysokie wartości współczynnika wskazują na występowanie klasterów podobnych wartości, niskie - na występowanie tzw. hot spots, a wartości bliskie wartości oczekiwanej \(E(I_i)\) na losowy rozkład badanej zmiennej w przestrzeni.
Wartość oczekiwana określona jest wzorem:

\[ E(I_i)=\frac{-\sum_{j=1}^nw_{ij}}{n-1} \]

Istotność współczynnika autokorelacji Morana

Testując istotność statystyczną związku między sąsiadującymi obiektami bada się hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & I_i = E(I_i), \\ \mathcal{H}_1: & I_i \ne E(I_i). \end{array}\)

Statystyka testowa ma postać:

\[ Z_i=\frac{I_i-E(I_i)}{\sqrt{var(I_i)}}, \]

gdzie:
\(\displaystyle var(I_i)=\frac{w_{i(2)}(n-b_2)}{n-1}+\frac{2w_{i(kh)}(2b_2-n)}{(n-1)(n-2)}-\frac{\left(\sum_{j=1}^nw_{ij}\right)^2}{(n-1)^2}\) – wariancja w rozkładzie losowym,

\(b_2=\frac{(n-1)\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^4}{\left(\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\right)^2}\),
\(w_{i(2)}\) – suma kwadratu wag dla wiersza \(i\),
\(2w_{i(kh)}\) - suma możliwych iloczynów wag dla wiersza \(i\) po wykluczeniu iloczynów o tych samych indeksach.

Statystyka \(Z_i\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\) :

\[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ przyjmując } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

Ze względu na problem braku niezależności współczynników wyliczanych dla sąsiednich obiektów sugeruje się stosowanie skorygowanego poziomu istotności \(\alpha\). Proponowane poprawki to: poprawka Bonferroniego: \(\alpha_1=\alpha/k\) lub Sidaka: \(\alpha_1=1-(1-\alpha)^{1/k}\), gdzie \(k\) jest średnią liczbą sąsiadów.

Warstwy mapy

Kombinacja informacji z wykresu punktowego Morana (podział obiektów na High-High, Low-Low, Low-High, High-Low) i z istotności statystyki lokalnej Morana przedstawia na mapie tzw. reżimy przestrzenne:

• Istotne statystycznie obiekty High-High (obiekty o wysokich wartościach otoczone przez obiekty o wysokich wartościach) zaznaczone są na mapie kolorem czerwonym;
• Istotne statystycznie obiekty Low-Low (obiekty o niskich wartościach otoczone przez obiekty o niskich wartościach) zaznaczone są na mapie kolorem niebieskim;
• Istotne statystycznie obiekty Low-High (obiekty o niskich wartościach otoczone przez obiekty o wysokich wartościach) zaznaczone są na mapie kolorem jasno-niebieskim;
• Istotne statystycznie obiekty High-Low (obiekty o wysokich wartościach otoczone przez obiekty o niskich wartościach) zaznaczone są na mapie kolorem jasno-czerwonym.

Okno z ustawieniami opcji lokalnej analizy Morana wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Statystyki przestrzenne \(\to\) Statystyka lokalna I Morana.

Przykład 3 c.d. (katalog: leukemia, plik: leukemia)
Analizie poddamy dane dotyczące białaczki.

• Mapa leukemia zawiera informacje o lokalizacji 281 wielokątów (regionów spisowych) w północnej części stanu New York.
• Dane do mapy leukemia:
  • Kolumna CASES – liczba przypadków białaczki w latach 1978-1982 przypisana do poszczególnych obiektów (regionów spisowych). Wartość ta powinna być liczbą całkowitą, tu jednak, zgodnie z opisem Wallera (1994) część przypadków, która nie mogła zostać obiektywnie przypisana do konkretnego regionu, została podzielona proporcjonalnie. Stąd liczności przypadków przypisanych do 281 obiektów nie są liczbami całkowitymi.
  • Kolumna POP – liczność populacji w poszczególnych obiektach.
  • Kolumna prev – współczynnik częstości występowania białaczki na 100000 osób, dla każdego obiektu w jednym roku: prev=(CASES/POP)*100000/5

Statystyka lokalna \(G_i\) Getisa i Orda (Getis i Ord 1992 Ordi Getis 1995) umożliwia wykrywanie lokalnej koncentracji wartości wysokich i niskich w sąsiadujących obiektach oraz bada istotność statystyczną tej zależności. Getis i Ord zdefiniował również bliźniaczą do \(G_i\) statystykę \(G^*_i\), która różni się od \(G_i\) jedynie tym, że obiekt dla którego wykonuje się badanie również bierze udział w analizie. W macierzy wag jest więc zdefiniowane dla niego sąsiedztwo z samym sobą tzw. potencjał (wartości na przekątnej są większe od 0).

Lokalny współczynnik autokorelacji Getisa i Orda

Lokalna postać współczynnika \(G\) Getisa i Orda dla obserwacji \(i\) określona jest wzorem:

\[ G_i=\frac{\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j}{\sum_{j=1}^nx_j}, \quad \textrm{gdzie: $i\neq j$.} \]

Współczynnik \(G^*_i\) zdefiniowany jest tym samym wzorem, lecz obliczenia przeprowadzane są również dla obiektu badanego czyli obiektu, dla którego indeksy \(i\) oraz \(j\) są sobie równe.
Ponieważ współczynnik bazuje na ilorazie dwóch sum wartości obiektów (\(x_j\)), dla poprawnej interpretacji współczynnika ważne jest by analizowane zjawisko opisane było za pomocą liczb dodatnich. Interpretacja lokalnego współczynnika Getisa i Orda, podobnie jak lokalnego współczynnika Morana, w znacznym stopniu zależy od wybranej macierzy wag (zaleca się standaryzację macierzy rzędami do jedynki). Wysokie wartości współczynnika \(G_i\) lub \(G^*_i\) świadczą o skoncentrowaniu obiektów o wysokich wartościach analizowanego zjawiska, natomiast wartości niskie świadczą o skupisku obiektów o niskich wartościach. Gdy wartości są bliskie wartości oczekiwanej, wówczas rozkład badanej wartości w przestrzeni jest losowy.
Wartość oczekiwana określona jest wzorem:

\[ E(G_i)=\frac{\sum_{j=1}^nw_{ij}}{n-1}, \quad \textrm{gdzie: $i\neq j$}; \]

\[ E(G_i^*)=\frac{\sum_{j=1}^nw_{ij}}{n}. \]

Istotność współczynnika Getisa i Orda

Testując istotność statystyczną związku między sąsiadującymi obiektami bada się hipotezy:

\(\begin{array}{clccl} \mathcal{H}_0: & G_i = E(G_i) & \quad & \mathcal{H}_0: & G_i^* = E(G_i^*)\\ \mathcal{H}_1: & G_i \ne E(G_i), & \quad & \mathcal{H}_1: & G_i^* \ne E(G_i^*). \end{array}\)

Statystyka testowa ma postać:

\[ Z_i(G)=\frac{\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j-\overline{x}(i)\sum_{j=1}^nw_{ij}}{s(i)\sqrt{\frac{(n-1)\sum_{j=1}^nw_{ij}^2-\left(\sum_{j=1}^nw_{ij}\right)^2}{n-2}}}, \quad \textrm{gdzie: $i\neq j$}; \]

\[ Z_i(G*)=\frac{\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j-\overline{x}^*\sum_{j=1}^nw_{ij}}{s^*\sqrt{\frac{n\sum_{j=1}^nw_{ij}^2-\left(\sum_{j=1}^nw_{ij}\right)^2}{n-1}}}. \]

gdzie:
\(\overline{x}(i)\) i \(\overline{x}^*\) - średnia zmiennej \(X\),
\(s(i)^2\) i \(s^{*2}\) - wariancja zmiennej \(X\).

Statystyka \(Z_i\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\) :

\[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ przyjmując } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

Ze względu na problem braku niezależności współczynników wyliczanych dla sąsiednich obiektów sugeruje się stosowanie skorygowanego poziomu istotności \(\alpha\). Proponowane poprawki to: poprawka Bonferroniego: \(\alpha_1=\alpha/k\) lub Sidaka: \(\alpha_1=1-(1-\alpha)^{1/k}\), gdzie \(k\) jest średnią liczbą sąsiadów.

Warstwy mapy

Kombinacja informacji z wielkości statystyki testowej \(Z_i\) oraz jej istotności przedstawia na mapie tzw. reżimy przestrzenne:

• Istotne statystycznie obiekty o wysokich wartościach statystyki \(Z_i\) oznaczone są jako High-High (obiekty o wysokich wartościach otoczone przez obiekty o wysokich wartościach) i zaznaczone na mapie kolorem czerwonym;
• Istotne statystycznie obiekty o niskich wartościach statystyki \(Z_i\) oznaczone są jako Low-Low (obiekty o niskich wartościach otoczone przez obiekty o niskich wartościach) i zaznaczone na mapie kolorem niebieskim.

Okno z ustawieniami opcji lokalnej analizy Getisa i Orda wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Statystyki przestrzenne \(\to\) Statystyka lokalna \(G_i\) Getisa i Orda.

Przykład 3 c.d. (katalog: leukemia, plik: leukemia)
Analizie poddamy dane dotyczące białaczki.

• Mapa leukemia zawiera informacje o lokalizacji 281 wielokątów (regionów spisowych (ang.census tracts)) w północnej części stanu New York.
• Dane do mapy leukemia:
  • Kolumna CASES – liczba przypadków białaczki w latach 1978-1982 przypisana do poszczególnych obiektów (regionów spisowych). Wartość ta powinna być liczbą całkowitą, tu jednak, zgodnie z opisem Wallera (1994) część przypadków, która nie mogła zostać obiektywnie przypisana do konkretnego regionu, została podzielona proporcjonalnie. Stąd liczności przypadków przypisanych do 281 obiektów nie są liczbami całkowitymi.
  • Kolumna POP – liczność populacji w poszczególnych obiektach.
  • Kolumna prev – współczynnik częstości występowania białaczki na 100000 osób, dla każdego obiektu w jednym roku: prev=(CASES/POP)*100000/5

Metoda CutL jest rozwijana w celu wykrywania klasterów o istotnie wyższym współczynniku częstości niż wskazany przez badacza (Więckowska B. 2017 [15]). W rezultacie program znajduje klastery, bada ich istotność statystyczną i wyrysowuje je na mapie.
Uwaga!
Analiza bazuje na często wykorzystywanym teście dokładnym dla jednej proporcji.
By przeprowadzić analizę powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu wielokąt. Dane do analizy powinny być zorganizowane w postaci dwóch kolumn, gdzie dla każdego obiektu podana jest liczność populacji i odpowiednia liczba przypadków wyszczególnionych.

Okno z ustawieniami opcji testu CutL wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna\(\to\)Statystyki przestrzenne\(\to\)CutL

Analiza bazuje na licznosci populacji i liczbie przypadków oraz na macierzy sąsiedztwa przestrzennego.
Wykorzystanie macierzy sąsiedztwa:
Domyślnie wyliczaną w analizie macierzą sąsiedztwa jest macierz przyległości granic typu Queen. Inne macierze mogą być użyte w analizie, ale wymaga to ich wcześniejszego przygotowania i wybrania w oknie analizy CutL.
Punkt odcięcia jest wartością powyżej której wyszukiwane są istotne statystycznie klastery i powinien być ustawiony w oknie analizy. Jeśli badacz nie określi tej wartości, wówczas stanowi ją ogólny współczynnik częstości wyliczony dla całego badanego obszaru.
Opcje

Korekcja wielokrotnych porównań
Następujące korekty wielokrotnych porównań mogą być wykorzystane:

• Bonferroni-Hochberg
• Sidak-Hochberg
• Benjamini-Hochberg

porównaj klaster/poza klasterem
Dodatkowo każdy klaster może być porównany z obszarem poza klasterem. Test dla jednej proporcji porównuje wówczas współczynnik częstości uzyskany w klasterze do odpowiedniego współczynnika poza klasterem. Test jest wówczas jednostronny ze względu na poszukiwanie klasterów o wyższych wartościach niż punkt odcięcia.

Wyniki
Wynik analizy jest prezentowany w formie raportu z dołączonymi warstwami map.

CutL czasowo-przestrzenna
Przy pomocy metody CutLmożliwe jest również wyznaczenie skupień czasowo-przestrzennych (Więckowska B. 2019 [16]), czyli takich, które nie utrzymują się przez cały badany zakres czasu, ale tylko przez krótszy okres.
Poszczególne warstwy czasu dodajemy do arkusza danych poprzez wybór Edytuj oś czasu z drzewa projektu, po wskazaniu odpowiedniej mapy.
Okno analizy czasowo-przestrzennej uzyskujemy poprzez wybór menu Analiza przestrzenna\(\to\)Statystyki przestrzenne\(\to\)CutL czasowo-przestrzenna.

1. Anselin L. (1995), Local Indicators of Spatial Association – LISA; Geographical Analysis, 27(2): 93–115
2. Anselin L., Lozano N., Koschinsky J. (2006) Rate Transformations and Smoothing. GeoDa Center Research Report https://geodacenter.asu.edu
3. Buliung R.N., Remmel T.K. (2008), Open source, spatial analysis, and activity-travel behaviour research: capabilities of the aspace package. Journal of Geographical Systems 10, 191-216
4. Clark P.J., Evans F.C. (1954), Distance to nearest neighbour as a measure of spatial relationships in populations. Ecology 35, 445-453
5. Cliff A.D., Ord J.K. (1981), Spatial Processes: Models and Applications. Pion: London
6. Fisher R.A. (1936), The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics, 7:179-188
7. Geary R.C. (1954), The Contiguity Ratio and Statistical Mapping. The Incorporated Statistician, 5, 115-45
8. Goodchild M.F. (1986), Spatial Autocorrelation, CATMOG 47, Geobooks: Norwich UK
9. Moran P.A.P. (1947), The Interpretation of Statistical Maps. Journal of the Royal Statistical Society, B10, 243-51
10. O'Rourke J. (1998), Computational Geometry in C (2nd ed). Massachusetts: Smith College
11. De Smith M.J., Goodchild M.F., Longley P.A. (2007), Geospatial Analysis, A Comprehensive Guide to Principles, Techniques and Software Tools (2nd ed). Matador
12. Waller L.A., Turnbull B.W., Clark L.C., Nasca P. (1992), Chronic disease surveillance and testing of clustering of disease and exposure : Application to leukemia incidence and TCE-contaminated dumpsites in upstate New York. Environmetrics, 3, 281-300
13. Waller L.A., Turnbull B.W., Clark, L.C., Nasca P. (1994), Spatial pattern analyses to detect rare disease clusters, in Case Studies in Biometry, N. Lange, et al., Editors. , John Wiley and Sons: New York, 3-23
14. Waller L.A., Gotway C.A. (2004), Applied Spatial Statistics for Public Health Data. New York: John Wiley and Sons
15. Więckowska B., Marcinkowska J. (2017), CutL: an alternative to Kulldorff’s scan statistics for cluster detection with a specified cut-off level. Geospatial Health, 12(2): 556
16. Więckowska B., Górna I., Trojanowski M., Pruciak A., Stawińska-Witoszyńska B. (2019), Searching for space-time clusters: The CutL method compared to Kulldorff's scan statistic 14(2)
17. Yamamoto J.K. (1997), A Pascal program for determining the convex hull for planar sets. Computers and Geosciences 23, n. 7, 725-738