Sferyczność Mauchly'ego

Kiedy stosować ten test:

Test Mauchly'ego (1940[118]) sprawdza założenie sferyczności – warunek podobny, ale silniejszy niż równość wariancji, wymagany przed wykonaniem ANOVA powtarzanych pomiarów. Założenie to jest spełnione, jeśli wariancje różnic pomiędzy wszystkimi parami powtarzanych pomiarów są sobie bliskie. Istotny wynik testu (\(p\le\alpha\)) oznacza naruszenie założenia sferyczności i konieczność zastosowania odpowiedniej korekty (zob. ANOVA powtarzanych pomiarów z korektą Epsilon i MANOVA).

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
wielowymiarowy rozkład normalny lub normalność rozkładu każdej badanej zmiennej,
model zależny.

Zamiast założenia sferyczności rozważa się czasem prostszy, ale bardziej rygorystyczny warunek symetrii złożonej (ang. compound symmetry), zakładający symetrię macierzy kowariancji – równość wariancji zmiennych oraz równość kowariancji między nimi. Spełnienie warunku symetrii złożonej pociąga za sobą spełnienie założenia sferyczności.

Wykonanie i interpretacja

Test ten w praktyce wykonuje się jako element szerszej analizy – przykład jego zastosowania i interpretacji znajduje się w rozdziale ANOVA powtarzanych pomiarów z korektą Epsilon i MANOVA (Przykład 1).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \sigma_{diff(1)}=\sigma_{diff(2)}=...=\sigma_{diff(s)},\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\sigma_{diff(i)}\text{ są sobie równe }(i=1,2,...,s), \end{array}\]

gdzie \(\sigma_{diff(i)}\) – populacyjna wariancja różnic pomiędzy \(i\)-tą parą powtarzanych pomiarów, \(s\) – liczba par.

Wzory: wartość \(W\) Mauchly'ego definiowana jest następująco:

\[ W=\frac{\prod_{j=1}^{k-1}\lambda_j}{\left(\frac{1}{k-1}\sum_{j=1}^{k-1}\lambda_j\right)^{k-1}}. \]

Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=(f-1)(n-1)\ln W, \]

gdzie:
\(f=\frac{2(k-1)^2+(k-1)+2}{6(k-1)(n-1)}\),
\(\lambda_j\) – wartość własna oczekiwanej macierzy kowariancji,
\(k\) – liczba analizowanych zmiennych.

Interpretacja: statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z \(df=\frac{k(k-1)}{2}-1\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Wartość \(W\approx1\) oznacza spełnienie założenia sferyczności. W interpretacji wyników tego testu należy jednak pamiętać, że jest on wrażliwy na złamanie założenia normalności rozkładu.