Test McNemara, test wewnętrznej symetrii Bowkera

Kiedy stosować te testy:

Testy stosujemy, gdy tę samą cechę mierzymy dwukrotnie u tych samych osób (np. opinię przed i po jakimś wydarzeniu) i chcemy sprawdzić, czy wyniki się zmieniły. Test McNemara (ang. McNemar test), McNemar (1947)[119], stosujemy, gdy badana cecha ma tylko 2 kategorie (oznaczane (+) i (\(-\))). Test wewnętrznej symetrii Bowkera (ang. Bowker test of internal symmetry), Bowker (1948)[24], jest jego rozszerzeniem na cechy o więcej niż dwóch kategoriach (\(c>2\)). Oba testy można wyliczać na podstawie danych surowych albo z gotowej tabeli kontyngencji.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej – ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
model zależny.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Bowker-McNemar (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż dwie zmienne odpowiadające pierwszemu i drugiemu pomiarowi tej samej cechy.

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Powszechną zasadą ważności asymptotycznego testu McNemara jest warunek Rufibach: liczba niezgodnych par powinna być większa niż 10 (\(O_{12}+O_{21}\geq10\))[145]. Gdy warunek ten nie jest spełniony, lepiej oprzeć wniosek na dokładnej wartości prawdopodobieństwa testu (opartej na rozkładzie dwumianowym) lub na jej mniej konserwatywnej wersji, teście mid-p McNemara[56] – obie są liczone automatycznie razem z testem podstawowym.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik opinia.pqs)
Przeprowadzono 2 badania opinii studentów na temat określonego wykładowcy akademickiego. Oba badania pozwalały ocenić wykładowcę negatywnie, pozytywnie, lub wybrać odpowiedź neutralną – nie mam zdania. Oba badania przeprowadzono na tej samej próbie 250 studentów, z tym że pierwsze badanie wykonano dzień przed egzaminem z przedmiotu prowadzonego przez ocenianego wykładowcę, a drugie dzień po egzaminie. Poniżej przedstawiono fragment danych w postaci surowej oraz całość danych w postaci tabeli kontyngencji. Chcemy zbadać, czy obydwa badania dają podobne wyniki.

\(p<0.0001\) (test Bowkera, istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Opinie studentów na temat wykładowcy zmieniły się pomiędzy oboma badaniami.

Z tabeli wynika, że istotnie więcej było tych studentów, którzy zmienili swoją opinię na negatywną po egzaminie, niż tych, którzy zmienili ją na pozytywną – wielu studentów oceniających wykładowcę pozytywnie przed egzaminem po egzaminie nie wyrażało już takiego zdania.

Gdybyśmy ograniczyli badanie do osób mających zdefiniowany pogląd na temat wykładowcy (oceniających go tylko pozytywnie lub negatywnie), moglibyśmy wykorzystać prostszy test McNemara:

\(p<0.0001\) (test McNemara, istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Wśród studentów z jednoznaczną opinią, jej rozkład (pozytywna/negatywna) zmienił się pomiędzy oboma badaniami.

Istotnie więcej było tych studentów, którzy zmienili swoją opinię na negatywną po egzaminie, niż tych, którzy zmienili ją na pozytywną. Szansa zmiany opinii z pozytywnej (przed egzaminem) na negatywną (po egzaminie) jest jedenaście razy większa (\(\frac{44}{4}\)) niż szansa zmiany w przeciwną stronę (\(\frac{4}{44}\)).

Definicje miar

Iloraz szans (OR) (ang. odds ratio) – jeśli badanie tej samej cechy na tych samych obiektach przeprowadzono dwukrotnie, iloraz szans opisuje, ile razy szansa zmiany wyniku w jedną stronę (np. z (+) na (\(-\))) jest większa lub mniejsza od szansy zmiany w stronę przeciwną.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Oznaczenia:
Oznaczenia tabeli kontyngencji \(2\times 2\) dla McNemara:

Liczności obserwowane		\(X^{(2)}\)
\(O_{ij}\)		(+)	(\(-\))	Suma
\(X^{(1)}\)	(+)	\(O_{11}\)	\(O_{12}\)	\(O_{11}+O_{12}\)
	(\(-\))	\(O_{21}\)	\(O_{22}\)	\(O_{21}+O_{22}\)
	Suma	\(O_{11}+O_{21}\)	\(O_{12}+O_{22}\)	\(n=O_{11}+O_{12}+O_{21}+O_{22}\)

Test McNemara – hipotezy:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & O_{12}=O_{21}, \\ \mathcal{H}_1: & O_{12}\neq O_{21}. \end{array}\)

Wzory:
Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\frac{(O_{12}-O_{21})^2}{O_{12}+O_{21}}. \]

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z jednym stopniem swobody.

Poprawka na ciągłość testu McNemara jest testem bardziej konserwatywnym od podstawowego (trudniej odrzuca hipotezę zerową). Statystyka testowa z poprawką ma postać:

\[ \chi^2=\frac{(|O_{12}-O_{21}|-1)^2}{O_{12}+O_{21}}. \]

Wzory (iloraz szans):
Szansa zmiany wyniku z (+) na (\(-\)) wynosi \(O_{12}\), a z (\(-\)) na (+) wynosi \(O_{21}\). Iloraz szans wyliczamy ze wzoru:

\[ OR=\frac{O_{12}}{O_{21}}. \]

Przedział ufności dla ilorazu szans buduje się w oparciu o błąd standardowy:

\[ SE=\sqrt{\frac{1}{O_{12}}+\frac{1}{O_{21}}}. \]

Dla prób o niewielkich licznościach można dodatkowo wyznaczyć dokładny zakres przedziału ufności dla ilorazu szans[103].

Test wewnętrznej symetrii Bowkera rozszerza test McNemara na tabele \(c\times c\) (\(c>2\) kategorii):

Liczności obserwowane		\(X^{(2)}\)
\(O_{ij}\)		\(X_1^{(2)}\)	\(X_2^{(2)}\)	...	\(X_c^{(2)}\)	Suma
\(X^{(1)}\)	\(X_1^{(1)}\)	\(O_{11}\)	\(O_{12}\)	...	\(O_{1c}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{1j}\)
	\(X_2^{(1)}\)	\(O_{21}\)	\(O_{22}\)	...	\(O_{2c}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{2j}\)
	...	...	...	...	...	...
	\(X_c^{(1)}\)	\(O_{c1}\)	\(O_{c2}\)	...	\(O_{cc}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{cj}\)
	Suma	\(\sum_{i=1}^cO_{i1}\)	\(\sum_{i=1}^cO_{i2}\)	...	\(\sum_{i=1}^cO_{ic}\)	\(n=\sum_{i=1}^c\sum_{j=1}^cO_{ij}\)

Hipotezy (gdzie \(j\neq i\), \(j,i\in\{1,2,...,c\}\), a \(O_{ij}\) i \(O_{ji}\) to liczności symetrycznych par):

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & O_{ij}=O_{ji},\\ \mathcal{H}_1: & O_{ij}\neq O_{ji} \text{ dla przynajmniej jednej pary } O_{ij}, O_{ji}. \end{array}\]

Wzory:
Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^c\sum_{j>i}\frac{(O_{ij}-O_{ji})^2}{O_{ij}+O_{ji}}. \]

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody wyliczaną według wzoru \(df=\frac{c(c-1)}{2}\).