Hipotezy:

gdzie \(\mu_1\),\(\mu_2\),...,\(\mu_k\) – średnie badanej zmiennej w kolejnych pomiarach z badanej populacji.

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

gdzie:
\(\displaystyle MS_{BC} = \frac{SS_{BC}}{df_{BC}}\) – średnia kwadratów między pomiarami,
\(\displaystyle MS_{res} = \frac{SS_{res}}{df_{res}}\) – średnia kwadratów dla reszt,
\(\displaystyle SS_{BC} = \sum_{j=1}^k\left({\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{ij}\right)^2}{n}}\right)-\frac{\left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}}\right)^2}{N}\) – suma kwadratów między pomiarami,
\(\displaystyle SS_{res} = SS_{T}-SS_{BS}-SS_{BC}\) – suma kwadratów dla reszt,
\(\displaystyle SS_{T} = \left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}\right)-\frac{\left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}}\right)^2}{N}\) – całkowita suma kwadratów,
\(\displaystyle SS_{BS} = \sum_{i=1}^n\left(\frac{\left(\sum_{j=1}^k x_{ij}\right)^2}{k}\right)-\frac{\left(\sum_{j=1}^k{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}}\right)^2}{N}\) – suma kwadratów między obiektami,
\(df_{BC}=k-1\) – stopnie swobody (między pomiarami),
\(df_{res}=df_{T}-df_{BC}-df_{BS}\) – stopnie swobody (dla reszt),
\(df_{T}=N-1\) – całkowite stopnie swobody,
\(df_{BS}=n-1\) – stopnie swobody (między obiektami),
\(N=nk\),
\(n\) – liczność próby,
\(x_{ij}\) – wartości zmiennej dla \(i\) obiektów \((i=1,2,...n)\) w \(j\) pomiarach \((j=1,2,...k)\).

Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_{BC}\) i \(df_{res}\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Cząstkowa \(\eta^2\)

Testy POST-HOC

Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC znajduje się w rozdziale Kontrasty i testy POST-HOC dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji dla grup niezależnych. Poniższe metody stosuje się analogicznie dla powtarzanych pomiarów (liczność w poszczególnych pomiarach jest zawsze taka sama).

Test LSD Fishera
Dla porównań prostych i złożonych.
Przykład – porównania proste (porównanie pomiędzy sobą 2 wybranych średnich):

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,1,df_{res}}}\cdot \sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}, \]

  gdzie \(F_{\alpha,1,df_{res}}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz dla stopni swobody odpowiednio: 1 i \(df_{res}\).

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ t=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j}{\sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi \(t\)-Studenta z \(df_{res}\) stopniami swobody. Dla kontrastów wielkość \(\sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}\) zastąpiona jest błędem kontrastu \(SE_{contrast}\), a stopnie swobody to \(df_{BS}\).

Test Scheffego
Dla porównań prostych.

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\sqrt{F_{\alpha,df_{BC},df_{res}}}\cdot \sqrt{(k-1)\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}, \]

  gdzie \(F_{\alpha,df_{BC},df_{res}}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz \(df_{BC}\) i \(df_{res}\) stopni swobody.

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ F=\frac{\left(\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j\right)^2}{(k-1)\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_{BC}\) i \(df_{res}\) stopniami swobody.

Test Tukeya
Dla porównań prostych.

• \(\mathfrak{(i)}\)

  Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

  \[ NIR=\frac{\sqrt{2}\cdot q_{\alpha,df_{res},k} \cdot \sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}}{2}, \]

  gdzie \(q_{\alpha,df_{res},k}\) to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu studentyzowanego rozstępu dla zadanego poziomu istotności \(\alpha\) oraz \(df_{res}\) i \(k\) stopni swobody.

• \(\mathfrak{(ii)}\)

  Statystyka testowa ma postać:

  \[ q=\sqrt{2}\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{x}_j}{\sqrt{\left(\sum_{j=1}^k \frac{c_j^2}{n}\right)MS_{res}}}. \]

  Statystyka ta podlega rozkładowi studentyzowanego rozstępu z \(df_{res}\) i \(k\) stopniami swobody.

Info. Algorytm obliczania wartości \(p\) i statystyki rozkładu studentyzowanego rozstępu w PQStat bazuje na pracy Lunda (1983)[108]. Inne programy lub strony internetowe mogą wyliczać nieco inne wartości niż PQStat, gdyż mogą bazować na mniej precyzyjnych lub bardziej restrykcyjnych algorytmach (Copenhaver i Holland (1988), Gleason (1999)).

Test dla trendu
Test badający istnienie trendu może być wyliczany w takiej samej sytuacji jak ANOVA dla zmiennych zależnych, gdyż bazuje na tych samych założeniach, inaczej jednak ujmuje hipotezę alternatywną – wskazując w niej na istnienie trendu wartości średnich w kolejnych pomiarach. Analiza trendu w ułożeniu średnich oparta jest na kontrastach Testu LSD Fishera. Tabela przykładowych wartości kontrastów dla wybranych trendów znajduje się w opisie testu dla trendu dla ANOVA zmiennych niezależnych.

Trend liniowy analizujemy w oparciu o kontrast liniowy, przypisując pomiarom uporządkowanym w naturalny sposób odpowiednie wartości kontrastu i wyliczając statystykę LSD Fishera. Przy znanym oczekiwanym kierunku trendu hipoteza alternatywna jest jednostronna i interpretacji podlega jednostronna wartość \(p\); interpretacja dwustronnej wartości \(p\) oznacza, że badacz nie zna (nie zakłada) kierunku ewentualnego trendu. Wyznaczoną wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).