Test Wilcoxona (rangowanych znaków)

Kiedy stosować ten test:

Test Wilcoxona rangowanych znaków (ang. Wilcoxon signed-ranks test), znany również pod nazwą testu Wilcoxona dla pojedynczej próby (Wilcoxon, 1945, 1949[170]), służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba pochodzi z populacji, dla której mediana (\(\theta\)) to znana wartość.

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.

Uwaga! W zależności od wielkości próby statystyka testowa przyjmuje inną postać – statystykę \(T\) dla małej liczności próby lub statystykę \(Z\) dla próby o dużej liczności (zob. Dla zainteresowanych).

Definicje miar

d-Cohena – standaryzowana wielkość efektu. Rozkład statystyki testu Wilcoxona jest aproksymowany przez rozkład normalny, który można przekształcić na wielkość efektu \(r=\left|Z/n\right|\)[67], by następnie uzyskać wartość d-Cohena zgodnie ze standardową konwersją stosowaną przy meta-analizach. Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi wskazówkami określonymi przez Cohena[46], definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Wilcoxon (rangowanych znaków) (lub poprzez Kreator).

Wykonanie i interpretacja

Kontynuacja przykładu 1 (plik kurier.pqs): tym razem zamiast średniej sprawdzimy medianę liczby dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki.

\(p=0.123212\) dla statystyki \(T\) (nieistotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Nie ma podstaw, by odrzucić hipotezę zerową mówiącą, że mediana liczby dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę kurierską wynosi 3.

Taką samą decyzję podjęlibyśmy również na podstawie wartości \(p=0.111161\) lub \(p=0.115817\) testu Wilcoxona opartego o statystykę \(Z\) lub \(Z\) z poprawką na ciągłość.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:
Hipotezy dotyczą równości sumy rang dodatnich i ujemnych lub są upraszczane do median:

\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta=\theta_0, \\ \mathcal{H}_1: & \theta\neq \theta_0. \end{array}\)

gdzie:
\(\theta\) – mediana badanej cechy w populacji reprezentowanej przez badaną próbę,
\(\theta_0\) – zadana wartość.

Wyznaczamy wartość statystyki testowej \(Z\) (\(T\) – dla małej liczności próby), a na jej podstawie wartość \(p\), którą porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Dla małej liczności próby – wzór:

\[ T=\min\left(\sum R_-,\sum R_+\right), \]

gdzie \(\sum R_+\) i \(\sum R_-\) to odpowiednio suma rang dodatnich i suma rang ujemnych. Statystyka ta podlega rozkładowi Wilcoxona.

Dla próby o dużej liczności – wzór:

\[ Z=\frac{T-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}, \]

gdzie:
\(n\) – liczba rangowanych znaków (liczba rang),
\(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.
Wzór na statystykę testową \(Z\) zawiera poprawkę na rangi wiązane. Poprawka ta powinna być stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych, poprawka ta nie jest wyliczana, gdyż wówczas \(\left(\sum t^3-\sum t\right)/48=0\)). Statystyka \(Z\) ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Poprawka na ciągłość testu Wilcoxona (Marascuilo i McSweeney, 1977[115])
Poprawkę na ciągłość stosujemy, by zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych, zgodnie z założeniem rozkładu normalnego. Wzór na statystykę testową z poprawką na ciągłość wyraża się wtedy wzorem:

\[ Z=\frac{\left|T-\frac{n(n+1)}{4}\right|-0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}. \]

d-Cohena – wzór:

\[ d=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}} \]