Dane zebrane przez badacza powinny w pierwszej kolejności zostać opisane. To, jakich miar użyjemy do tego opisu, zależy od sposobu dokonywania pomiarów, czyli od tzw. skali pomiarowej zmiennej.

Skale pomiarowe

Poprawne określenie rodzaju wykonywanej analizy zależy od skali, na jakiej wyrażone są zebrane dane. Wyróżniamy 3 główne skale pomiarowe:

1. Skala interwałowa (przedziałowa) (ang. interval scale)
   Zmienna jest wyrażona na skali interwałowej, gdy:

   • można ją uporządkować,
   • można obliczyć, o ile jeden element jest większy od drugiego, a różnica ta ma interpretację w świecie rzeczywistym. Zwykle określona jest jednostka miary.

   Przykład: masa obiektu [kg], powierzchnia obiektu [m], czas [lata], prędkość [km/h] itp.

2. Skala porządkowa (ang. ordinal scale)
   Zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, gdy:

   • można ją uporządkować, czyli ma znaczenie kolejność występowania elementów,
   • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.

   Przykład: wykształcenie, kolejność zawodników na podium itp.
   

   Uwaga! Jeśli zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, to by można było wykonać na niej w sposób prawidłowy obliczenia, powinna być zapisana za pomocą liczb. Liczby te to umowne identyfikatory mówiące o kolejności elementów.

3. Skala nominalna (ang. nominal scale)
   Zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, gdy:

   • nie można jej uporządkować, czyli nie istnieje wynikające z natury danego zjawiska uporządkowanie,
   • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.

   Przykład: płeć, kraj zamieszkania itp.
   

   Uwaga! Jeśli zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, to może być zapisana za pomocą etykiet tekstowych. Nawet jeśli wartości zmiennej nominalnej są wyrażane liczbowo, to liczby te są tylko umownymi identyfikatorami – nie można więc wykonywać na nich działań arytmetycznych ani ich porównywać.

Przed przystąpieniem do analiz zaleca się przyporządkować skalę pomiarową poszczególnym zmiennym. Takie przypisanie spowoduje, że nagłówki zmiennych zyskają odpowiadający danej skali kolor, tzn. kolor zielony = skala interwałowa, kolor żółty = skala porządkowa, kolor czerwony = skala nominalna. Kolor zmiennych (a więc ich skala) będzie widoczny w arkuszu danych i na liście zmiennych w oknach analiz.
Przypisania skali do wybranej zmiennej możemy dokonać w oknie opcji zmiennych Kody/Etykiety/Format lub w menu kontekstowym na nagłówku wybranej zmiennej.

Dane ilościowe to wszelkie informacje, które można określić ilościowo, policzyć lub zmierzyć i nadać im wartość liczbową. Do danych ilościowych zaliczamy skalę interwałową i niekiedy również skalę porządkową.
Dane jakościowe mają charakter opisowy, wyrażony raczej w kategoriach językowych niż w wartościach liczbowych. Do danych jakościowych zaliczamy skalę nominalną i niekiedy również skalę porządkową.
Skala porządkowa, która ma wiele zobiektywizowanych kategorii, to dane ilościowe, np. skala jakości życia SF-36 (od 0 do 100 punktów). Jeśli jednak kategorii jest tak niewiele, że można je opisać tekstem, np. wykształcenie (podstawowe, średnie, wyższe), to są to dane jakościowe.

Tabele

Tabele liczności i rozkłady empiryczne danych

Kiedy stosować:

Podstawą badań statystycznych jest określenie rozkładu empirycznego, czyli zaobserwowanego w próbie rozkładu cechy – innymi słowy, sprawdzenie, jak często poszczególne wartości cechy się powtarzają. Rozkład taki przedstawia się w postaci tabeli liczności lub wykresu (histogramu). Dla małych zbiorów danych tabele liczności mogą prezentować wszystkie dane – tzw. szeregi rozdzielcze punktowe, a dla większych zbiorów danych tworzy się tzw. szeregi rozdzielcze przedziałowe.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Analizy opisowe \(\to\) Tabele liczności.

W oknie tym wybieramy zmienną do analizy oraz opcje analizy. Wybierając odpowiednie opcje, zwrócony wynik możemy posortować, traktując zmienne jako wartości tekstowe lub jako liczby. Jeśli w analizowanej kolumnie występują puste komórki, to mogą być wliczane do analizy bądź pomijane. Wynik analizy znajdzie się w raporcie dołączonym do arkusza danych, dla których została wykonana.
Jeśli dodatkowo chcemy, by dane zostały zobrazowane wykresem kolumnowym lub histogramem, zaznaczamy w oknie Tabel liczności opcję Dołącz wykres.

Wykonanie i interpretacja

Raport tabeli

Kiedy stosować:

Raport tabeli pozwala jednocześnie podsumować bardzo wiele danych w postaci tabel dwudzielczych (tabel dwóch cech). Na przykład w ten sposób możemy przedstawić rozkład grup wiekowych według miejsca zamieszkania, wykształcenia itd. Każda tabela jest przedstawiana w postaci liczności w poszczególnych kategoriach oraz dodatkowo można ją podsumować, wyliczając procenty z wiersza, z kolumny lub z sumy całkowitej, a także wyznaczyć tabelę liczności oczekiwanych. Dla takich tabel możliwe jest też automatyczne podsumowanie w postaci wykresu kolumnowego.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Analizy opisowe \(\to\) Raport tabeli.

Wykonanie i interpretacja

Analizy dla tabel kontyngencji

Kiedy stosować:

Analizy dla tabel kontyngencji stosuje się, gdy chcemy zbadać zależność między dwiema (lub więcej) cechami jakościowymi – np. czy rodzaj przyjmowanego leku wiąże się z wystąpieniem powikłań. Wyliczane są one na podstawie danych zebranych w tabelę kontyngencji lub bezpośrednio na podstawie danych w postaci surowej. Istnieje przy tym możliwość transformacji danych z tabeli kontyngencji do postaci surowej lub odwrotnie.

Podstawowe testy dla tabel kontyngencji:

• Test chi-kwadrat zgodności
• Test chi-kwadrat RxC (2x2) oraz jego poprawki
• Test chi-kwadrat dla trendu dla tabel Rx2
• Test McNemara, test wewnętrznej symetrii Bowkera
• Test chi-kwadrat dla wielowymiarowych tabel kontyngencji
• ANOVA Q-Cochrana
• Metoda Mantela-Haenszela dla wielu tabel 2x2

Współczynniki dla tabel kontyngencji:

• Relatywne Ryzyko i Iloraz Szans
• Współczynniki kontyngencji: Q-Yulea, Phi, V -Cramera, C-Pearsona
• Współczynnik zgodności Kappa Cohena
• Współczynnik Kappa Fleissa
• Czułość i swoistość, PPV, NPV, LR(+), LR(-), wsp. chorobowości, dokładność

Definicje miar

W raporcie wynikowym można również umieścić podstawowe podsumowanie tabel:

• Tabela kontyngencji liczności obserwowanych \(-\) czyli dane w postaci tabeli kontyngencji. Tabela taka przedstawia rozkład obserwacji dla kilku cech (kilku zmiennych). Tabelę dla 2 cech (\(X\), \(Y\)), z których pierwsza ma możliwych \(r\), a druga \(c\) kategorii, przedstawiono poniżej (tabela(1)).

  Tabela 1. Tabela kontyngencji \(r\times c\) liczności obserwowanych

  Liczności		Cecha Y
  obserwowane \(O_{ij}\)		\(Y_1\)	\(Y_2\)	...	\(Y_c\)	Suma
  Cecha \(X\)	\(X_1\)	\(O_{11}\)	\(O_{12}\)	...	\(O_{1c}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{1j}\)
  	\(X_2\)	\(O_{21}\)	\(O_{22}\)	...	\(O_{2c}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{2j}\)
  	...	...	...	...	...	...
  	\(X_r\)	\(O_{r1}\)	\(O_{r2}\)	...	\(O_{rc}\)	\(\sum_{j=1}^cO_{rj}\)
  	Suma	\(\sum_{i=1}^rO_{i1}\)	\(\sum_{i=1}^rO_{i2}\)	...	\(\sum_{i=1}^rO_{ic}\)	\(n=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^cO_{ij}\)

  Liczności obserwowane \(O_{ij}\) (\(i=1,2,\dots,r;\quad j=1,2,\dots,c\)) przedstawiają częstość występowania poszczególnych kategorii dla obu cech.
  Aby tabela taka była zwrócona przez program, należy w oknie testu wybrać opcję dołącz analizowane dane. Dla danych z przykładu (4) tabela kontyngencji liczności obserwowanych przedstawia się następująco:

  

• Tabela kontyngencji liczności oczekiwanych \(-\) dla każdej tabeli kontyngencji liczności obserwowanych można utworzyć odpowiadającą jej tabelę liczności oczekiwanych: \(E_{ij}\) (tabela(2)) – czyli liczności, jakich spodziewalibyśmy się w poszczególnych komórkach tabeli, gdyby obie cechy były od siebie niezależne (wzór w Dla zainteresowanych).

  Tabela 2. Tabela kontyngencji \(r\times c\) liczności oczekiwanych

  Liczności		Cecha Y
  oczekiwane \(E_{ij}\)		\(Y_1\)	\(Y_2\)	...	\(Y_c\)
  Cecha \(X\)	\(X_1\)	\(E_{11}\)	\(E_{12}\)	...	\(E_{1c}\)
  	\(X_2\)	\(E_{21}\)	\(E_{22}\)	...	\(E_{2c}\)
  	...	...	...	...	...
  	\(X_r\)	\(E_{r1}\)	\(E_{r2}\)	...	\(E_{rc}\)

  Dla danych z przykładu (4) tabela kontyngencji liczności oczekiwanych przedstawia się następująco:

  

• Tabela kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy kolumn. Dla danych z przykładu (4) tabela ta przedstawia się następująco:

  

• Tabela kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy wierszy. Dla danych z przykładu (4) tabela ta przedstawia się następująco:

  

• Tabela kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy całkowitej wierszy i kolumn. Dla danych z przykładu (4) tabela ta przedstawia się następująco:

  

Statystyki opisowe

Kiedy stosować:

Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych za pomocą kilku charakterystyk liczbowych, np. wartości średniej, mediany czy odchylenia standardowego, oraz wyciągnięcie na tej podstawie podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru – bez tego kroku trudno w ogóle zacząć rozumieć, z jakimi danymi mamy do czynienia.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Analizy opisowe \(\to\) Statystyki opisowe.

W oknie tym wybieramy zmienną do analizy oraz opcje analizy i zaznaczamy interesujące nas miary statystyk opisowych. Zaznaczać można pojedyncze statystyki lub całe ich grupy, wybierając przycisk . Dokonany wybór potwierdzamy przyciskiem OK. Wynik analizy znajdzie się w raporcie dołączonym do arkusza danych, dla których została wykonana.
Jeśli dodatkowo chcemy, by dane zostały zobrazowane wykresem ramka-wąsy, zaznaczamy w oknie Statystyk opisowych opcję Dołącz wykres.

Miary tendencji centralnej

Miary tendencji centralnej to tzw. miary przeciętne, charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Definicje miar

Średnia arytmetyczna (ang. arithmetic mean) to najbardziej znana z miar przeciętnych – suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę (wzór w Dla zainteresowanych). Jest stosowana dla skali interwałowej. Dla próby przyjmuje się oznaczać ją przez \(\overline{x}\), a dla populacji przez \(\mu\).
Średnia przycięta (Trimmed mean) – wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po usunięciu z próbki zadanego procentu najmniejszych i największych pomiarów, np. gdy obcinamy 5% pomiarów, to oznacza, że obcinamy 2.5% największych i 2.5% najmniejszych wartości. Gdy uzyskana na podstawie przeliczeń liczba pomiarów przeznaczonych do usunięcia nie jest liczbą całkowitą, jest ona zaokrąglana w dół do najbliższej całkowitej.
Średnia Winsora (Winsor mean) – wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po zastąpieniu odpowiedniego odsetka skrajnych pomiarów wartością najmniejszą i największą, jaka pozostała w zmniejszonym zbiorze wartości. Jeśli zdecydujemy się na obliczanie średniej Winsora, przycinając np. 5% pomiarów, to te odrzucone 5% zostanie zastąpione wartością najmniejszą i największą wyznaczoną z pozostałych 95% pomiarów. Podobnie jak dla średniej przycinanej, gdy na podstawie przeliczenia procentu wartości przeznaczonych do zamiany nie uzyskamy liczby całkowitej, zaokrąglamy w dół do najbliższej całkowitej.
Średnia geometryczna (ang. geometric mean) to pierwiastek stopnia \(n\) z iloczynu wszystkich wartości (wzór w Dla zainteresowanych). Jest stosowana dla skali interwałowej, gdy zmienna ma rozkład logarytmiczno-normalny (logarytm zmiennej ma rozkład normalny).
Średnia harmoniczna (ang. harmonic mean) to liczba obserwacji podzielona przez sumę odwrotności poszczególnych wartości (wzór w Dla zainteresowanych). Jest stosowana dla skali interwałowej.
Mediana (ang. median)
W uporządkowanym zbiorze danych mediana jest wartością dzielącą ten zbiór na dwie równe części. Połowa wszystkich obserwacji znajduje się poniżej, a połowa powyżej mediany.

Mediana może być stosowana w skali interwałowej oraz porządkowej.
Moda (ang. mode)
Moda \(-\) to wartość, która występuje najczęściej wśród uzyskanych pomiarów. Moda może być stosowana w każdej skali pomiarowej.

Inne miary położenia

Kwartyle (ang. quartiles), decyle (ang. deciles), centyle (ang. centiles) to wartości dzielące uporządkowany zbiór danych na równe części – podobnie jak mediana, tylko na więcej niż dwie części.

Kwartyle (\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\)) dzielą uporządkowany szereg na 4 równe części, decyle (\(D_i\), \(i=1,2,...,9\)) na 10 równych części, a centyle (percentyle: \(C_i\), \(i=1,2,...,99\)) na 100 równych części. Drugi kwartyl, piąty decyl i pięćdziesiąty centyl są równe medianie. Miary te mogą być stosowane w skali interwałowej oraz porządkowej.

Miary rozproszenia

Znajomość miar tendencji centralnej nie wystarcza do scharakteryzowania struktury zbiorowości statystycznej – badana grupa może charakteryzować się różnym stopniem zmienności w zakresie badanej cechy. Potrzebne są zatem miary, które pozwalają określić rozrzut danych.

Warunki stosowania

Definicje miar

Rozstęp (ang. range) – różnica między największą a najmniejszą wartością w próbie (wzór w Dla zainteresowanych). Rozstęp kwartylowy (\(IQR\)) to analogiczna różnica pomiędzy górnym a dolnym kwartylem.
Rozstępy dla skali percentylowej (decylowej, centylowej). Rozstępy między percentylami to jedna z miar rozproszenia – określają procent wszystkich obserwacji, których wartość znajduje się pomiędzy wybranymi percentylami.
Wariancja (ang. variance) \(-\) mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej. Liczy się ją nieco inaczej dla próby i dla całej populacji (wzory w Dla zainteresowanych). Wariancja jest zawsze dodatnia, ale nie jest wyrażona w tych samych jednostkach co wyniki pomiarów.
Odchylenie standardowe (ang. standard deviation) \(-\) podobnie jak wariancja, mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej, ale – w odróżnieniu od wariancji – jest wyrażone w tych samych jednostkach co dane (jest pierwiastkiem z wariancji). Im wyższa wartość odchylenia standardowego (lub wariancji), tym bardziej zróżnicowana grupa pod względem badanej cechy.

Współczynnik zmienności (ang. coefficient of variation)
Współczynnik zmienności, podobnie jak odchylenie standardowe, pozwala ocenić stopień jednorodności badanej zbiorowości (wzór w Dla zainteresowanych). Jest to wielkość niemianowana, co pozwala na porównanie zróżnicowania kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy oraz tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech (wyrażonych w różnych jednostkach). Przyjmuje się, że jeżeli współczynnik \(V\) nie przekracza 10%, to cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie nieistotne.
Błędy standardowe (ang. standard errors) \(-\) nie są miarami rozproszenia wyników pomiarowych, lecz określają stopień dokładności, z jaką możemy określić wartości parametrów populacji na podstawie ich estymatorów wyliczonych z próby. Najczęściej wykorzystywanym błędem standardowym jest błąd standardowy średniej arytmetycznej (ang. standard error of the mean, SEM) – wzór w Dla zainteresowanych.

Inne atrybuty rozkładu

Skośność, inaczej współczynnik asymetrii (ang. skewness)
Jest to miara, która mówi o tym, jak bardzo rozkład danych różni się od rozkładu symetrycznego. Im wartość współczynnika asymetrii jest bliższa zeru, tym bardziej symetrycznie wokół średniej rozkładają się dane. Zwykle wartość tego współczynnika zawiera się w przedziale [-1, 1], choć przy szczególnie dużej asymetrii może się poza nim znaleźć. Wartości dodatnie świadczą o skośności prawostronnej (o dłuższym prawym „ogonie”), wartości ujemne zaś o skośności lewostronnej (o dłuższym lewym „ogonie”). Wzór na skośność znajduje się w Dla zainteresowanych.

Kurtoza, inaczej współczynnik koncentracji (ang. kurtosis)
Jest to miara, która mówi o tym, jak bardzo rozrzut danych wokół średniej jest zbliżony do rozrzutu tych danych w rozkładzie normalnym. Im wartość kurtozy jest większa od zera, tym badany rozkład jest bardziej smukły niż rozkład normalny, a im mniejsza od zera, tym rozkład jest bardziej spłaszczony niż rozkład normalny. Wzór na kurtozę znajduje się w Dla zainteresowanych.

Wykonanie i interpretacja

Zestawienia opisowe

Kiedy stosować:

Zestawienia opisowe to szybkie przygotowanie raportu przedstawiającego opis danych, gotowego do umieszczenia bezpośrednio w pracy naukowej. Jest to narzędzie ułatwiające zebranie wszystkich form podstawowego opisu danych w jednym miejscu.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Analizy opisowe \(\to\) Zestawienia opisowe.

W zależności od sposobu dokonywania pomiarów do opisu zmiennej używamy najczęściej jednej z trzech typów miar:

• średnia \(\pm\) odchylenie standardowe, w skrócie \(\overline{x}\pm sd\)
• mediana [kwartyl dolny; kwartyl górny], w skrócie \(Me [Q_1; Q_3]\), lub mediana [min; max], w skrócie \(Me [min; max]\)
• liczność (procent) poszczególnych kategorii, w skrócie \(n (\%)\)

W zależności od potrzeb i spełnienia dodatkowych założeń:

• w skali interwałowej dane mogą zostać opisane przy użyciu dowolnej miary – dodatkowo często badaczowi zależy na sprawdzeniu normalności rozkładu takich danych,
• w skali porządkowej do dyspozycji mamy mediany (z kwartylami lub wartością najmniejszą i największą) lub liczności i procenty poszczególnych kategorii,
• w skali nominalnej jedynie liczności i procenty poszczególnych kategorii.

Wykonanie i interpretacja