PQStat STATYSTYKI OPISOWE
By przeprowadzić statystykę opisową powinniśmy dysponować danymi mapy zawierającej obiekty typu: punkt, wielopunkt lub wielokąt. W przypadku analizy wielokątów obliczenia oparte są na centroidach, a przypadku wielopunktów na centrach obiektów.
Granice obszaru, w którym zamknięte są analizowane punkty, w zależności od potrzeb, mogą być zdefiniowane za pomocą: otoczki wypukłej, najmniejszego prostokąta, prostokąta z granic warstwy lub najmniejszego okręgu. Badany obszar może być również zdefiniowany jedynie przez wielkość swojego pola.
Odległość pomiędzy punktami mierzona jest metryką Euklidesową.
Podstawowe statystyki wyznaczane dla analizy punktów:
- \(A\) –pole powierzchni badanego obszaru,
- \(n\) –wielkość próby, czyli ilość punktów leżących wewnątrz badanego obszaru,
- \(D=\frac{n}{A}\) –gęstość,
statystyki opisowe macierzy odległości pomiędzy punktami:
- średnia arytmetyczna wraz z przedziałem ufności,
- odchylenie standardowe,
- mediana,
- kwartyle,
- minimum i maksimum.
Analiza zwraca również wykres dotyczący macierzy odległości oraz warstwy, które mogą być wyrysowane na płaszczyźnie mapy. Warstwy dotyczą miar centrograficznych: miary tendencji centralnej i rozproszenia:
- Centrum rozkładu punktów: średnia wsółrzędnych osi \(X\) i osi \(Y\) (\(\overline{x}\), \(\overline{y}\)),
Obszar odchyleń standardowych zbudowany wokół centrum, zdefiniowany poprzez:
Okrąg
Promień okręgu to \(sdd\) –standardowa odległość od centrum (ang. standard distance deviation) wyrażona wzorem:\[ sdd=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^{'2}+\sum_{i=1}^n y_i^{'2}}{n-2}}, \]gdzie:
\(x_i^{'}=x_i-\overline{x}\),
\(y_i^{'}=y_i-\overline{y}\).Elipsa
Kąt nachylenia osi elipsy (Y) wobec układu współrzędnych (osi OY) wyrażony jest wzorem:\[ \theta=\arctan\left(\frac{A+B}{C}\right), \]gdzie:
\(\displaystyle A=\sum_{i=1}^n x_i^{'2}-\sum_{i=1}^n y_i^{'2}\),
\(\displaystyle B=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i^{'2}-\sum_{i=1}^n y_i^{'2}\right)^2+4\left(\sum_{i=1}^nx_i^{'}y_i^{'}\right)^2}\),
\(\displaystyle C=2\sum_{i=1}^nx_i^{'}y_i^{'}\).Długości półosi elipsy:
\[ \sigma_x=\sqrt{\frac{2}{n-2}\sum_{i=1}^n\left(x_i^{'}\cos\theta-y_i^{'}\sin\theta\right)^2} \]\[ \sigma_y=\sqrt{\frac{2}{n-2}\sum_{i=1}^n\left(x_i^{'}\sin\theta+y_i^{'}\cos\theta\right)^2} \]- Prostokąt
Długości boków prostokąta to: \(a=2sd_x\), \(b=2sd_y\), gdzie \(sd_x\) i \(sd_y\) to odchylenia standardowe dla współrzędnych osi \(X\) i osi \(Y\)
Gdy dla poszczególnych obiektów zostaną zdefiniowane wagi, wówczas wyliczone będzie ważone centrum rozkładu punktów i ważony okrąg przedstawiający obszar odchyleń standardowych
Ważone centrum rozkładu punktów: ważona średnia współrzędnych osi \(X\) i osi \(Y\):
\[ \overline{x_w}=\frac{\sum_{i=1}^n w_ix_i}{\sum_{i=1}^n w_i},\qquad \overline{y_w}=\frac{\sum_{i=1}^n w_iy_i}{\sum_{i=1}^n w_i} \]gdzie:
\(w_i\) –wagi określające wielkość cechy w \(i\)-tym obiekcie.Ważony okrąg
Promień okręgu to \(wsdd\) –ważona standardowa odległość od centrum wyrażona wzorem:\[ wsdd=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n w_ix_i^{*2}+\sum_{i=1}^n w_iy_i^{*2}}{\sum_{i=1}^n w_i-2}}, \]gdzie:
\(x_i^{*}=x_i-\overline{x_w}\),
\(y_i^{*}=y_i-\overline{y_w}\).
Uwaga!
We wzorach dotyczących długości promienia okręgu i półosi elipsy, mianownik pomniejszono o wartość 2 –Buliung (2008), [3], Smith (2007)[11].
Okno z ustawieniami opcji statystyk opisowych wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna \(\to\) Przestrzenne statystyki opisowe.
Przykład 1. (katalog: snow, pliki SHP: deaths, pumps, streets) Dane, których dotyczyć będzie analiza są prawdopodobnie najbardziej znanym, klasycznym przykładem zastosowania kartografii w epidemiologii. Obrazują epidemię cholery w Londynie w roku 1854. Mapę przedstawiającą zakres epidemii sporządził lekarz, odkrywca przyczyny epidemii, uznany za jednego z twórców epidemiologii –John Snow. Współrzędne punktów, które posłużyły do wyrysowania map, pochodzą z oryginalnej mapy stworzonej przez Johna Snowa, która została zdigitalizowana przez Rusty Dodson z US National Center for Geographic Information Analysis (http://ncgia.ucsb.edu/Publications/Software/cholera/) a następnie przedstawiona w metrach.
Po zaimportowaniu powyższych plików kształtów SHP, możemy każdy z nich obejrzeć i edytować w Menadżerze map.
By przeprowadzić analizę zaznaczamy mapę deaths i wykonujemy Przestrzenne statystyki opisowe. Ponieważ jako dane do analizy posłużą nam współrzędne mapy, w oknie statystyk opisowych zaznaczamy opcję Pobierz współrzędne punktów z mapy, jako rodzaj obwiedni obiektów wybieramy otoczkę wypukłą.
i wybierając warstwę obwiedni obiektów.
Analiza macierzy odległości punktów pozwala na dokładniejszą ocenę ich gęstości. Niektóre punkty znajdują się w tym samym miejscu, ponieważ najmniejsza odległość to \(0m\). Są też punkty znacznie bardziej oddalone od siebie –największa odległość to \(662.896352 m\). Znajdujemy tu również informację o przeciętnej odległości i o ich odchyleniu standardowym.
Najbardziej interesującą informację w przypadku analizy mapy deaths daje zlokalizowane Centrum rozkładu punktów (\(703.79\), \(631.65\)) wraz z obszarem odchyleń standardowych, które opisują stopień koncentracji oraz kierunek dyspersji (okrąg, elipsa, prostokąt).
nanosimy na nią mapę deaths i pumps.
