Jednoczynnikowa MANOVA dla grup niezależnych

Kiedy stosować ten test:

Jednoczynnikowa MANOVA (ang. multivariate analysis of variance) jest rozszerzeniem jednoczynnikowej ANOVA dla grup niezależnych. Pozwala sprawdzić równość średnich badanych \(k\) zmiennych w kilku (\(m\geq2\)) populacjach. W odróżnieniu od wielokrotnego (oddzielnie dla każdej zmiennej) stosowania ANOVA, MANOVA bada różnice pomiędzy populacjami jednocześnie dla wielu zmiennych, uwzględniając przy tym ich wzajemne skorelowanie. Podejście to jest też stosowane jako alternatywa dla ANOVA dla grup zależnych, gdyż nie wymaga spełnienia założenia sferyczności. Zalecamy wcześniejsze zapoznanie się z analizą T-kwadrat Hotellinga.

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
wielowymiarowy rozkład normalny w każdej populacji lub normalność rozkładu każdej badanej zmiennej w każdej populacji,
model niezależny,
równość macierzy kowariancji lub równość wariancji badanych zmiennych dla porównywanych populacji – warunek szczególnie istotny w przypadku grup o różnych licznościach.

Uwaga! Zasada działania MANOVA (podobnie jak testów Hotellinga) jest tożsama z budową wielowymiarowych elips przedziałów ufności wokół centrów wyznaczonych przez średnie (patrz przykład interpretacji elipsy testu Hotellinga dla pojedynczej próby). Przez to, stosując analizę jednowymiarową (nie uwzględniającą wzajemnych powiązań między zmiennymi), często nie jesteśmy w stanie uzyskać tożsamych wyników.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy parametryczne \(\to\) Jednoczynnikowa MANOVA dla grup niezależnych.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik sport.pqs)

Przebadano grupę sportowców, by uzyskać informację o parametrach zdrowotnych, m.in. takich jak:
WBC – liczba białych krwinek,
Wzrost [cm],
Masa ciała [kg].
Chcemy wiedzieć:

czy uprawiający zawodowo trzy rodzaje sportów: „gry zespołowe” (jak: koszykówka, siatkówka itp.), „bieżnia” (jak: 100m, 400m itp.), „wodne” (jak: pływanie, wioślarstwo itp.), różnią się poziomami tych parametrów;
czy uprawiający sporty wymagające dużego wysiłku, takie jak „bieżnia” i „wodne”, różnią się poziomami tych parametrów od uprawiających „gry zespołowe”.

Ad. 1)
Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \text{średnie analizowanych parametrów są takie same }\\ & \text{dla sportowców uprawiających poszczególne rodzaje sportu,}\\ \mathcal{H}_1: & \text{przynajmniej jeden parametr ma inną średnią wartość}\\ & \text{dla porównywanych populacji.}\\ \end{array} \]

Wynik testu Boxa (\(p=0.63025\)) pozwala na wyliczenie analizy typu MANOVA.

istotne Lambda Wilksa, ślad Hotelling-Lawley oraz ślad Pillai-Bartlett (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Badane populacje sportowców różnią się co do analizowanych parametrów.

By określić, których zmiennych dotyczą różnice, przeprowadzamy analizę jednowymiarową ANOVA.

Do uzyskanych wyników należy podejść ostrożnie. Choć wskazują one na istotne różnice we wszystkich porównywanych parametrach, zwracają wartość \(p\) na pograniczu istotności statystycznej (dla WBC \(p=0.04885\), dla wzrostu \(p=0.04406\), dla wagi \(p=0.02528\)). Dodatkowo, przy ich interpretacji należy pamiętać, że nie uwzględniają one ani wzajemnego skorelowania parametrów, ani wielokrotnego testowania. Uwzględnienie wielokrotnego testowania wymagałoby w tym przypadku zastosowania jednej z korekt wartości \(p\), opisanych w dziale Wielokrotne porównania.

Ad. 2)
Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \text{średnie analizowanych parametrów dla ,,gier zespołowych'' }\\ & \text{nie różnią się od odpowiednich średnich sportowców z dwóch pozostałych grup,}\\ \mathcal{H}_1: & \text{przynajmniej jeden parametr ma inną średnią wartość}\\ & \text{dla porównywanych populacji.}\\ \end{array} \]

By sprawdzić prawdziwość powyższych hipotez, w oknie analizy ustawiamy odpowiedni kontrast. Jako wartość kontrastu wpisujemy 2 dla sportów zespołowych, a \(-1\) dla bieżni i dyscyplin określanych jako wodne.

\(p=0.00592\) dla Lambda Wilksa, śladu Hotelling-Lawley oraz śladu Pillai-Bartlett (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Sportowcy uprawiający sporty wymagające dużego wysiłku różnią się analizowanymi parametrami od uprawiających gry zespołowe.

W przedziałach jednoczesnych nie obserwujemy tych różnic, natomiast na bazie przedziałów Bonferroniego możemy stwierdzić, że różnica dotyczy wagi i WBC. Wartości WBC są wyższe w grupie sportów zespołowych, a masa ciała jest istotnie niższa w tej grupie.

Definicje miar

Cząstkowa \(\eta^2\) – miara wielkości efektu określająca proporcję wariancji wyjaśnionej do wariancji całkowitej związanej z danym czynnikiem. W modelu jednoczynnikowej MANOVA dla grup niezależnych wskazuje, jaka część wewnątrzosobowej zmienności wyników może być przypisana badanemu czynnikowi wyznaczającemu grupy niezależne.

Kontrasty (analiza jednowymiarowa) – gdy wykonywana analiza ma porównać wybrane populacje lub wybrany układ populacji, przeprowadzamy analizę kontrastów, analogiczną do kontrastów w analizie jednowymiarowej, ale uwzględniającą wzajemne powiązanie zmiennych.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2=...=\mu_m,\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\mu_i\text{ są sobie równe,} \end{array}\]

gdzie:
\(\mu_i=(\mu_{i1}, \mu_{i2},..., \mu_{ik})\) – średnie zmiennych w \(i\)-tej populacji,
\((i=1,2,...,m)\),
\((j=1,2,...,k)\).

Wyjaśnienie:
W analizach MANOVA posługujemy się kilkoma współczynnikami. Najszerzej znanym jest Lambda Wilksa. Ślad Pillai-Bartlett jest najbardziej konserwatywny, ale stosunkowo odporny w przypadku naruszenia założeń stosowania MANOVA i preferowany przy mało licznych próbach. Ślad Hotelling-Lawley jest natomiast najmniej konserwatywny z trzech zaproponowanych testów. Pionierskie prace nad rozwojem tych technik rozpoczęli: Wilks (1932)[175], Pillai (1955)[134], Lawley (1938)[99], Hotelling (1951)[85] i Roy (1939)[142].

Statystyki testowe bazują na macierzach sum kwadratów i iloczynów mieszanych (\(SSCP\) – ang. Sums of Squares and Cross Products). Macierz całkowita \(T=SSCP\) zostaje rozbita na dwie macierze: pierwsza związana jest z analizowaną hipotezą i oznaczana przez \(H\) (macierz międzygrupowych sum kwadratów i iloczynów mieszanych), a druga dotyczy reszt (błędów) i jest oznaczana przez \(E\) (macierz wewnątrzgrupowych sum kwadratów i iloczynów mieszanych).

Lambda Wilksa – wzory:
Wartość Lambdy definiowana jest następująco:

\[ \Lambda=\frac{|E|}{|H+E|} \]

Statystyka testowa ma postać:

\[ F=\frac{1-\Lambda^{\frac{1}{b}}}{\Lambda^{\frac{1}{b}}}\frac{df_2}{df_1} \]

gdzie \(df_1=k(m-1)\), \(df_2=ab-c\), a \(a\), \(b\), \(c\) to współczynniki zależne od liczby analizowanych zmiennych i liczby porównywanych populacji.

Ślad Hotelling-Lawley – wzory:
Ślad Hotelling-Lawley definiowany jest następująco:

\[ T_0=trace(HE^{-1}) \]

Statystyka testowa ma postać:

\[ F=\frac{T_0^2}{s}\frac{df_2}{df_1} \]

gdzie \(df_1=s(2t+s+1)\), \(df_2=2(su+1)\), a \(s\), \(t\), \(u\) to współczynniki zależne od liczby analizowanych zmiennych i liczby porównywanych populacji.

Ślad Pillai-Bartlett – wzory:
Ślad Pillai-Bartlett definiowany jest następująco:

\[ V=trace(H(H+E)^{-1}) \]

Statystyka testowa ma postać:

\[ F=\frac{V}{s-V}\frac{df_2}{df_1} \]

gdzie \(df_1=s(2t+s+1)\), \(df_2=s(2u+s+1)\), a \(s\), \(t\), \(u\) to współczynniki zależne od liczby analizowanych zmiennych i liczby porównywanych populacji.

Każda z powyższych statystyk testowych podlega rozkładowi F Snedecora z \(df_1\) i \(df_2\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).

Cząstkowa \(\eta^2\) – wzór:

\[ \eta^2=\frac{F\cdot df_1}{F\cdot df_1+df_2} \]

Kontrasty (analiza jednowymiarowa)
Dla wielkości efektu można także wyznaczyć jednoczesne przedziały ufności lub przedziały ufności z poprawką Bonferroniego. Stosując te przedziały, należy jednak pamiętać, że nie uwzględniają one powiązań pomiędzy poszczególnymi zmiennymi (które uwzględnia MANOVA), a jedynie wielokrotne testowanie.

Szukając zmiennych, których dotyczą różnice, możemy również zastosować podejście jednowymiarowe, wykonując porównania ANOVA dla grup niezależnych oddzielnie dla poszczególnych zmiennych. Niestety, nie uwzględnimy tym samym wzajemnych powiązań, ale uzyskane na podstawie ANOVA wartości \(p\) możemy skorygować w dziale Wielokrotne porównania.