ANCOVA

Kiedy stosować:

Analiza kowariancji (ANCOVA) jest metodą testowania hipotezy o równości średnich dwóch lub większej liczby populacji, w korekcji o inne ciągłe zmienne. Skutkiem tych korekt są efekty chętniej widziane przez badaczy niż te uzyskiwane poprzez ANOVA, tzn. węższe przedziały ufności i większa moc statystyczna.

Załóżmy, że przeprowadza się eksperyment w celu oceny efektów dwóch metod leczenia. Grupy, którym losowo przydzielono leczenie, różnią się nieco średnią wieku, która również wpływa na efekt leczenia. Różnice między grupami w osiągnięciach będą dość niejednoznaczne do zinterpretowania, ponieważ grupy różnią się zarówno pod względem wieku, jak i warunków leczenia. Analiza kowariancji dostarczy „skorygowanych średnich”, które szacują wartość, jaką miałyby średnie wyniki, gdyby grupy były dokładnie takie same pod względem wieku. Jednocześnie zmienność wyników w obrębie grupy, wynikająca ze zmiennej (wiek), zostanie usunięta ze zmienności błędu, aby zwiększyć precyzję testu różnic między skorygowanymi średnimi.

Oznaczenie „analiza kowariancji” jest obecnie postrzegane jako anachroniczne przez niektórych metodologów badań i statystyków, ponieważ analiza ta nie jest odrębną analizą, ale wariantem ogólnego modelu liniowego (GLM). Jednak termin ten jest nadal użyteczny, ponieważ natychmiast przekazuje większości badaczy pojęcie, że zmienna kategorialna (np. warunki leczenia) i zmienna ciągła (np. wiek) są zaangażowane w jedną analizę określającą wynik leczenia.

Warunki stosowania

pomiar zmiennej zależnej \(Y\) na skali interwałowej,
próby pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym (normalność zmiennych bądź reszt modelu),
model niezależny względem czynników,
równość wariancji reszt pomiędzy grupami uzyskanymi na bazie czynników,
równość nachyleń linii regresji (współczynników regresji pomiędzy każdą zmienną wikłającą a zmienną zależną) dla każdego możliwego poziomu czynnika.

Uwaga! Sposób uwzględniania badanych czynników i zmiennych wikłających opisany jest w rozdziale dotyczącym wieloczynnikowej ANOVA (Wpływ czynników wikłających). Polecanym sposobem jest wybór Sumy kwadratów typu III oraz kodowania efektów.
Równość nachyleń linii regresji badana jest przy pomocy testu F porównującego model zawierający analizowane czynniki z takim samym modelem, ale powiększonym o interakcje z czynnikami wikłającymi. Istotny statystycznie wynik oznacza złamanie założenia równych nachyleń, ponieważ istotna staje się interakcja, a więc różne nachylenia prostych.

Jak ustawić analizę

Statystyki zaawansowane \(\to\) Modele wielowymiarowe \(\to\) ANCOVA.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik lekCholesterol.pqs)
Wyobraźmy sobie, że badacz prowadził badanie nad nowym lekiem obniżającym poziom cholesterolu. Badanie było tak zaprojektowane, że dawka leku występowała na trzech poziomach: wysoka, niska i placebo. Badacz sprawdził (przy pomocy ANOVA niezależnej), czy cholesterol po leczeniu różnił się w zależności od dawki leku.

Niestety, badacz nie uzyskał potwierdzenia różnic pomiędzy wynikami. Wyobraźmy sobie, że badacz zdał sobie sprawę, iż to, czy dany lek zmieni poziom cholesterolu, może być związane z wyjściowym poziomem cholesterolu oraz z wiekiem pacjenta. Z tego względu zdecydował się wykonać jednoczynnikową ANCOVA (czynnik to dawka leku), uwzględniającą jako współzmienną poziom cholesterolu przed leczeniem i wiek.

ANCOVA: \(p=0.00003\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Po uwzględnieniu poziomu cholesterolu przed leczeniem i wieku, poziom cholesterolu po zastosowaniu różnych dawek leku różni się istotnie – w przeciwieństwie do wyniku zwykłej ANOVA.

Uwzględnienie poziomu cholesterolu przed badaniem zmniejszyło uzyskiwane błędy dla średnich i zawęziło przedziały ufności. By wyświetlić obserwowane lub oczekiwane średnie, wybieramy odpowiednie ustawienia poprzez Opcje czynników, zaznaczając wykres błędów. Pierwszy wykres przedstawia obserwowane średnie wraz z przedziałem ufności, tzn. nieuwzględniające wpływu wieku i poziomu cholesterolu przed leczeniem; drugi wykres to oczekiwane, na podstawie zbudowanego modelu, średnie wraz z przedziałami ufności, tzn. po uwzględnieniu oddziaływania tych dwóch współzmiennych:

W efekcie, uwzględniając poziom cholesterolu przed leczeniem, badacz był w stanie wykazać skuteczność nowego sposobu leczenia. Poziom cholesterolu przed leczeniem i wiek tłumaczy w pewnym stopniu zmiany w poziomie cholesterolu po leczeniu, jednak pozostałą część zmian w 57% możemy przypisać zastosowanej dawce leku (cząstkowa Eta-kwadrat = 0.565437). Testy post-hoc (wybrane poprzez Opcje czynników) zasugerowały powstanie dwóch grup jednorodnych: grupy placebo i grupy pacjentów z lekiem, wskazując że podnoszenie dawki do wysokiej nie ma znaczenia, gdyż uzyskane poziomy cholesterolu będą podobne.

Pozostały do sprawdzenia założenia ANCOVA. Jednorodność wariancji i stałość nachyleń prostych regresji potwierdzono przy pomocy testów:

Normalność rozkładu reszt oceniono wizualnie, wyrysowując wykresy Q-Q:

Przykład 2. (plik stres.pqs)
Przykład pochodzi z pakietu Datarium R-Cran. Badacze chcą ocenić wpływ nowego leczenia i ćwiczeń na redukcję stresu, po uwzględnieniu różnic w wieku. Wartość pomiaru stresu to interwałowa zmienna wynikowa \(Y\). Ze względu na to, że zmienne „leczenie” i „ćwiczenia” mają odpowiednio 2 i 3 kategorie, przeprowadzimy dwukierunkową ANCOVA w celu określenia, czy interakcja między ćwiczeniami i leczeniem, przy jednoczesnym uwzględnieniu wieku badanych, ma związek ze stresem.

Czynniki
leczenie \(X_1\)	ćwiczenia \(X_2\)
tak	niewiele
	przeciętnie
	dużo
nie	niewiele
	przeciętnie
	dużo

W oknie analizy jako zmienną zależną ustawiamy „stres”, jako czynniki „leczenie” i „ćwiczenia” oraz dodajemy interakcję tych dwóch zmiennych, współzmienna ciągła to „wiek”.

interakcja leczenie*ćwiczenia: \(p=0.016409\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Wpływ leczenia na stres zmienia się w zależności od intensywności wykonywania ćwiczeń.

Wyrysujemy wykres przedstawiający oczekiwane średnie poziomy stresu dla każdej z sześciu podgrup, na jakie interakcja podzieliła nasze dane, oraz wyznaczymy testy post-hoc.

Zgodnie z wynikami testu post-hoc, możemy mówić o trzech różnych grupach jednorodnych: (B) grupa osób o wysokim poziomie stresu, to grupa ćwicząca niewiele lub przeciętnie (bez względu na to, czy są to osoby leczone czy nie); (C) grupa osób o niższym poziomie stresu, to grupa ćwicząca dużo i nieleczona; (A) grupa osób o najniższym poziomie stresu, to grupa ćwicząca dużo i leczona. Wartości poszczególnych średnich wraz z przedziałami ufności przedstawia tabela:

Założenia dotyczące równości wariancji, nachyleń linii regresji oraz normalności reszt modelu są spełnione:

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy – dla pojedynczego czynnika \(A\):

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2=...=\mu_a,\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\mu_i\text{ są sobie równe }(i=1,2,...,a)\text{,} \end{array}\]

gdzie \(\mu_1,\mu_2,...,\mu_a\) – oczekiwane średnie czynnika \(A\) dla poszczególnych jego kategorii (skorygowane o współzmienne).

Hipotezy – dla interakcji czynników \(A*B\):

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2=...=\mu_{ab},\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\mu_k\text{ są sobie równe }(k=1,2,...,ab)\text{,} \end{array}\]

gdzie \(\mu_1,\mu_2,...,\mu_{ab}\) – oczekiwane średnie interakcji czynników \(A*B\) dla poszczególnych ich kategorii (skorygowane o współzmienne).