Test chi-kwadrat dla trendu

Kiedy stosować ten test:

Test \(\chi^2\) dla trendu, nazywany również testem Cochrana-Armitage (ang. Cochran-Armitage test for trend)[42][10], stosujemy, gdy mamy uporządkowane kategorie jednej cechy (np. poziom wykształcenia) i dwie grupy drugiej cechy (np. pali/nie pali), a chcemy sprawdzić, czy proporcje w kolejnych kategoriach rosną lub maleją w sposób systematyczny – czyli czy widoczny jest trend.

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej (kategorie muszą dać się uporządkować),
model niezależny (druga cecha to 2 niezależne grupy).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat, Fisher, OR/RR, opcja Fisher, Yates i inne... \(\to\) Chi-kwadrat dla trendu.

Krok 1. Wskaż cechę uporządkowaną (np. wykształcenie) i cechę dwukategorialną (np. palenie).

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Przed analizą trzeba wskazać kolejność, w jakiej mają się pojawiać kategorie cechy uporządkowanej. W tym celu we właściwościach zmiennej wybieramy Kody/Etykiety/Format... i nadajemy kolejność, podając kolejne liczby naturalne, a następnie przypisujemy im etykiety.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik palenie-wykształcenie.pqs)
Sprawdzamy, czy palenie papierosów związane jest z wykształceniem mieszkańców pewnej wsi. Wylosowano próbę 122 osób. Zakładamy, że zależność może być dwojakiego typu: im bardziej wykształceni ludzie, tym częściej palą, albo im bardziej wykształceni ludzie, tym rzadziej palą – poszukujemy więc rosnącego lub malejącego trendu.

\(p=0.0091\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W badanej populacji istnieje trend w częstości palenia wraz ze wzrostem wykształcenia.

Jak wynika z wykresu, im osoby są bardziej wykształcone, tym rzadziej palą. Wynik uzyskany przez osoby o wykształceniu gimnazjalnym odbiega jednak od tego trendu – ponieważ ta kategoria dotyczy tylko dwóch osób, nie miało to dużego wpływu na wynik. Ze względu na bardzo małą liczność tej grupy analizę powtórzono dla połączonych kategorii wykształcenia podstawowego i gimnazjalnego.

\(p=0.0078\) (po połączeniu kategorii, istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Trend w częstości palenia wraz ze wzrostem wykształcenia potwierdza się również po połączeniu najmniej licznych kategorii.

Przykład 2. (plik widzowie.pqs)
Z powodu spadku oglądalności pewnego serialu telewizyjnego przeprowadzono badanie opinii widzów. Przepytano 100 osób, które rozpoczęły oglądanie serialu niedawno, i 300, które oglądają go systematycznie od początku. Zapytano ich między innymi o stopień zaabsorbowania losami bohaterów. Wyniki zapisano w tabeli poniżej:

Stopień	grupa
zaciekawienia	grupa nowych widzów	grupa stałych widzów	suma
raczej niewielki	7	7	14
przeciętny	13	25	38
raczej wysoki	30	58	88
wysoki	24	99	123
bardzo wysoki	26	111	137
suma	100	300	400

Nowi widzowie stanowią 25% badanych. Taka proporcja nie utrzymuje się jednak dla każdej kategorii stopnia zaciekawienia:

Stopień	grupa
zaciekawienia	grupa nowych widzów	grupa stałych widzów	suma
raczej niewielki	\(p_1\)=50.00%	50.00%	100%
przeciętny	\(p_2\)=34.21%	65.79%	100%
raczej wysoki	\(p_3\)=34.09%	65.91%	100%
wysoki	\(p_4\)=19.51%	80.49%	100%
bardzo wysoki	\(p_5\)=18.98%	81.02%	100%
suma	25.00%	75.00%	100%

\(p=0.000436\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W populacji widzów serialu istnieje trend w proporcji nowych widzów: im grupa jest bardziej zainteresowana losami bohaterów, tym mniejszą jej część stanowią nowi widzowie (trend malejący).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Oznaczenia: tabela kontyngencji \(r\times 2\) liczności obserwowanych:

Liczności obserwowane		Cecha 2 (grupa)
\(O_{ij}\)		\(G_1\)	\(G_2\)	Suma
Cecha 1 (cecha \(X\))	\(X_1\)	\(O_{11}\)	\(O_{12}\)	\(W_1=O_{11}+O_{12}\)
	\(X_2\)	\(O_{21}\)	\(O_{22}\)	\(W_2=O_{21}+O_{22}\)
	...	...	...	...
	\(X_r\)	\(O_{r1}\)	\(O_{r2}\)	\(W_r=O_{r1}+O_{r2}\)
	Suma	\(C_1=\sum_{i=1}^rO_{i1}\)	\(C_2=\sum_{i=1}^rO_{i2}\)	\(n=C_1+C_2\)

Niech \(p_1, p_2, ..., p_r\) oznaczają proporcje \(p_1=\frac{O_{11}}{W_1}\), \(p_2=\frac{O_{21}}{W_2}\),..., \(p_r=\frac{O_{r1}}{W_r}\).

Hipotezy:

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \text{w badanej populacji nie istnieje trend w proporcjach }p_1, p_2, ..., p_r\text{, }\\ \mathcal{H}_1: & \text{w badanej populacji istnieje trend w proporcjach }p_1, p_2, ..., p_r\text{. } \end{array}\]

Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\frac{\left[\left(\sum_{i=1}^r i\cdot O_{i1}\right) -C_1\left(\sum_{i=1}^r\frac{i\cdot W_i}{n}\right)\right]^2}{\frac{C_1}{n}\left(1-\frac{C_1}{n}\right)\left[\left(\sum_{i=1}^n i^2 W_i\right)-n\left(\sum_{i=1}^n\frac{i \cdot W_i}{n}\right)^2\right]}. \]

Statystyka ta ma rozkład \(\chi^2\) z 1 stopniem swobody.