PQStat Współczynnik zgodności Kendalla i test badający jego istotność
Kiedy stosować:
Współczynnik zgodności \(\widetilde{W}\) Kendalla (ang. Kendall's Coefficient of Concordance), opisany w pracy Kendalla i Babingtona-Smitha (1939)[93] oraz Wallisa (1939)[167], stosuje się w sytuacji, gdy dysponujemy rankingami pochodzącymi z różnych źródeł (od różnych sędziów) i dotyczącymi kilku (\(k\geq2\)) obiektów, a zależy nam na ocenie zgodności tych rankingów. Często używa się go do mierzenia siły sędziowskiej rzetelności, czyli stopnia, w jakim oceny sędziów są zgodne.
Warunki stosowania
- pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.
Definicje miar
Współczynnik zgodności \(\widetilde{W}\) Kendalla – wartość \(W\in\langle0;1\rangle\) interpretujemy następująco:
- \(\widetilde{W}\approx1\) oznacza silną zgodność w ocenie poszczególnych obiektów przez sędziów;
- \(\widetilde{W}\approx0\) oznacza brak zgodności w ocenie poszczególnych obiektów przez sędziów.
\(W\) oznacza współczynnik zgodności Kendalla w populacji, natomiast \(\widetilde{W}\) w próbie.
Współczynnik zgodności \(\widetilde{W}\) Kendalla a ANOVA Friedmana: współczynnik zgodności \(\widetilde{W}\) Kendalla i ANOVA Friedmana bazują na tym samym modelu matematycznym. W rezultacie wartość statystyki testowej testu \(\chi^2\) do sprawdzania istotności współczynnika zgodności Kendalla i wartość statystyki testowej ANOVA Friedmana są takie same.
Jak ustawić analizę
Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) W Kendalla (lub poprzez Kreator).
Wykonanie i interpretacja
Przykład 1. (plik sędziowie.pqs)
W systemie szóstkowym oceny par tanecznych 9 sędziów punktuje m.in. wrażenie artystyczne. Sędziowie rozpoczynają wystawianie oceny od porównania zawodników względem siebie i ustawienia ich na określonym miejscu (tworzą ich ranking). Sprawdzimy, czy rangi przypisane przez sędziów są zgodne:
| Sędziowie | Para A | Para B | Para C | Para D | Para E | Para F |
| S1 | 3 | 6 | 2 | 5 | 4 | 1 |
| S2 | 4 | 6 | 1 | 5 | 3 | 2 |
| S3 | 4 | 6 | 2 | 5 | 3 | 1 |
| S4 | 2 | 6 | 3 | 5 | 4 | 1 |
| S5 | 2 | 6 | 1 | 5 | 4 | 3 |
| S6 | 3 | 5 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| S7 | 5 | 4 | 1 | 6 | 3 | 2 |
| S8 | 3 | 6 | 2 | 5 | 4 | 1 |
| S9 | 2 | 6 | 3 | 5 | 4 | 1 |
Siła tej zgodności jest wysoka i wynosi \(\widetilde{W}=0.83351\), podobnie jak średni współczynnik korelacji monotonicznej Spearmana \(\bar{r}_s=0.81270\). Wynik ten możemy przedstawić na wykresie, na którym oś X reprezentuje kolejnych sędziów. Wówczas im częściej przecinają się linie (które powinny być równoległe do osi X, gdy zgodność jest pełna), tym słabszą zgodność reprezentują oceny sędziów.
Wzory:
Wartość współczynnika zgodności Kendalla wylicza się według wzoru:
gdzie:
\(n\) – liczba różnych zbiorów ocen (liczba sędziów),
\(k\) – liczba rangowanych obiektów,
\(\displaystyle U=\sum_{j=1}^k\left(\sum_{i=1}^nR_{ij}\right)^2\),
\(R_{ij}\) – rangi przypisane kolejnym obiektom \((j=1,2,...k)\), oddzielnie dla każdego z sędziów \((i=1,2,...n)\),
\(\displaystyle C=\sum(t^3-t)\) – korekta na rangi wiązane,
\(t\) – liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.
Wzór na współczynnik zawiera poprawkę na rangi wiązane \(C\). Poprawka ta jest stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych, poprawka ta nie jest wyliczana, gdyż wówczas \(C=0\)).
Zależność pomiędzy średnim współczynnikiem korelacji Spearmana a współczynnikiem zgodności Kendalla wyraża się wzorem:
Test \(\chi^2\) do sprawdzania istotności współczynnika zgodności Kendalla
Hipotezy:
\(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & W=0 \\ \mathcal{H}_1: & W\neq0 \end{array}\)
Wzory:
Statystyka testowa ma postać:
Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z liczbą stopni swobody wyliczaną z wzoru \(df=k-1\).
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).