Test t-Studenta dla grup niezależnych

Test \(t\)-Studenta dla grup niezależnych

Kiedy stosować ten test:

Test \(t\)-Studenta dla grup niezależnych (ang. \(t\) test for independent groups) służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch populacjach – np. gdy porównujemy wartość jakiejś cechy między dwiema niezależnymi, niepowiązanymi ze sobą grupami (kobiety i mężczyźni, grupa leczona i kontrolna).

Warunki stosowania

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu badanej zmiennej w obu populacjach,
model niezależny,

Nie musisz samodzielnie sprawdzać równości wariancji w obu grupach – PQStat robi to automatycznie i dobiera odpowiednią wersję testu (zob. Jak rozpocząć analizę).

Test \(t\)-Studenta z korektą Cochrana-Coxa

Poprawka Cochrana-Coxa (ang. Cochran-Cox adjustment), (1957)[43] to wariant testu \(t\)-Studenta dla grup niezależnych stosowany automatycznie wtedy, gdy wariancje badanej zmiennej w obu populacjach różnią się istotnie. Warunki stosowania i cel testu są takie same jak dla wariantu podstawowego – różni się jedynie sposób wyliczenia statystyki testowej i stopni swobody (zob. Dla zainteresowanych).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy parametryczne \(\to\) \(t\)-Student dla grup niezależnych (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż zmienną grupującą (np. płeć) i zmienną wynikową (np. cholesterol całkowity).

Krok 2.

W opcji dotyczącej wariancji wybierz jedno z ustawień:

równe – zostanie wyliczony test \(t\)-Studenta dla grup niezależnych,
różne – zostanie wyliczony test \(t\)-Studenta z korektą Cochrana-Coxa,
sprawdź równość – program sam wyliczy test Fishera-Snedecora i na tej podstawie automatycznie wybierze właściwy wariant testu.

Krok 3. Uruchom analizę.

Uwaga! Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. średnich arytmetycznych, odchyleniach standardowych i liczności prób.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik cholesterol.pqs)
Z populacji kobiet i z populacji mężczyzn mieszkających w Polsce, w wieku powyżej 40 roku życia, wylosowano po 500 osób. Badanie dotyczyło oceny ryzyka chorób sercowo-naczyniowych. Wśród badanych parametrów znajduje się stężenie cholesterolu całkowitego. Celem tego badania będzie porównanie mężczyzn i kobiet co do tej wartości – chcemy wykazać, że populacje te różnią się już na poziomie stężenia cholesterolu całkowitego, a nie tylko w zakresie poszczególnych frakcji cholesterolu.

Rozkład wieku w obu grupach jest rozkładem normalnym (zostało to sprawdzone testem Lillieforsa). Średnie stężenie cholesterolu całkowitego w grupie mężczyzn wyniosło \(\overline{x}_1=201.1\), a odchylenie standardowe \(sd_1=47.6\), w grupie kobiet odpowiednio \(\overline{x}_2=191.5\) i \(sd_2=43.5\). Test Fishera-Snedecora wskazuje na niewielkie, lecz istotne statystycznie (\(p=0.0434\)) różnice w wariancjach. W analizie zastosowany zostanie test \(t\)-Studenta z poprawką Cochrana-Coxa.

\(p=0.0009\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Kobiety i mężczyźni mieszkający w Polsce różnią się istotnie statystycznie stężeniem cholesterolu całkowitego. Przeciętny Polak po 40. roku życia ma wyższe stężenie cholesterolu całkowitego niż przeciętna Polka – różnica wynosi prawie 10 jednostek.

Wartość \(p\) wyznaczoną na podstawie statystyki testowej porównujemy zawsze z przyjętym poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), różnica średnich jest istotna statystycznie; gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, by twierdzić, że grupy się różnią. Warto dodatkowo zgłosić wielkość efektu (d-Cohena) – sama istotność statystyczna nie mówi, jak duża jest różnica; przy dużych próbach nawet niewielkie różnice mogą wyjść istotne statystycznie.

Definicje miar

d-Cohena – standaryzowana miara wielkości efektu, która określa, jak dużą częścią występującej w danych zmienności jest zaobserwowana różnica między średnimi. W przeciwieństwie do wartości \(p\), nie zależy od liczności próby, dzięki czemu pozwala ocenić praktyczne znaczenie różnicy, a nie tylko jej istotność statystyczną.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Test \(t\)-Studenta dla grup niezależnych

Hipotezy:

\(\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2,\\ \mathcal{H}_1: & \mu_1\ne\mu_2. \end{array}\)

gdzie \(\mu_1\), \(\mu_2\) – średnie badanej zmiennej w pierwszej i drugiej populacji.

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ t=\frac{\displaystyle{\overline{x}_1-\overline{x}_2}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}}, \]

gdzie \(\overline{x}_1, \overline{x}_2\) – średnie w próbach, \(n_1, n_2\) – liczności prób, \(sd_1^2, sd_2^2\) – wariancje w próbach. Statystyka ma rozkład \(t\)-Studenta z \(df=n_1+n_2-2\) stopniami swobody.

Wspólne odchylenie standardowe:

\[ SD_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}}, \]

Błąd standardowy różnicy średnich:

\[ SE_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}. \]

Wzór d-Cohena:

d-Cohena wyliczamy ze wzoru:

\[ d=\left|\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{SD_p}\right| \]

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena [46] wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Test \(t\)-Studenta z korektą Cochrana-Coxa

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ t=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{\frac{sd_1^2}{n_1}+\frac{sd_2^2}{n_2}}}. \]

Statystyka ma rozkład \(t\)-Studenta z liczbą stopni swobody zaproponowaną przez Satterthwaite (1946)[146] i wyliczaną z wzoru:

\[ df=\frac{\left( \frac{sd_1^2}{n_1}+\frac{sd_2^2}{n_2}\right)^2}{\left( \frac{sd_1^2}{n_1}\right)^2\cdot \frac{1}{(n_1-1)}+\left( \frac{sd_2^2}{n_2}\right)^2\cdot \frac{1}{(n_2-1)}}. \]