ANOVA Skillings-Mack (brakujących danych)

Kiedy stosować ten test:

Analiza wariancji powtarzanych pomiarów dla rang Skillings-Mack (Skillings i Mack, 1981[155]) stosuje się w tej samej sytuacji, co ANOVA Friedmana, gdy jednak w danych występują braki, które nie tworzą żadnego szczególnego układu (wymagane są jedynie co najmniej dwie obserwacje dla każdego obiektu). Gdy braków nie ma i nie ma rang wiązanych, test jest tożsamy z ANOVA Friedmana; gdy braki występują w układzie zbalansowanym, daje te same wyniki co ANOVA Durbina.

Warunki stosowania

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
model zależny,
każdy obiekt ma przynajmniej dwie obserwacje.

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne (kat. uporządkowane) \(\to\) ANOVA Friedmana (możliwość braków danych).

Krok 1. Wskaż zmienne odpowiadające kolejnym pomiarom.

Krok 2. Zaznacz opcję Akceptuj braki danych.

Krok 3. Uruchom analizę.

Uwaga! By rekordy, w których występują braki danych, były brane pod uwagę, wymagane jest zaznaczenie opcji Akceptuj braki danych. Jako braki danych traktowane są puste komórki oraz komórki o wartościach nieliczbowych. W analizie biorą udział tylko rekordy zawierające więcej niż jedną wartość liczbową. Dla tego testu nie ma możliwości przeprowadzenia analizy POST-HOC.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik ankietyzacja.pqs)
Pewien nauczyciel akademicki, chcąc poprawić sposób prowadzenia zajęć, postanowił zweryfikować swoje umiejętności dydaktyczne. W kilku losowo wybranych grupach studenckich, podczas ostatnich zajęć, prosił o wypełnienie krótkiej anonimowej ankiety złożonej z 6 pytań dotyczących sposobu ilustrowania sześciu wyszczególnionych partii materiału (skala pięciostopniowa, gdzie 1 – zupełnie niezrozumiały sposób przedstawiania materiału, 5 – bardzo jasny i ciekawy sposób ilustrowania materiału). Uzyskane dane okazały się niekompletne: w 30-osobowej grupie wypełniającej ankietę tylko 15 osób udzieliło kompletu odpowiedzi. Analiza nieuwzględniająca braków danych (ANOVA Friedmana) miałaby w tym przypadku ograniczoną moc ze względu na drastyczne obcięcie liczności grupy. Braki danych nie były też zaplanowane i nie tworzą zbalansowanego bloku, więc nie można również wykorzystać ANOVA Durbina. Sprawdzimy, czy poziom oceny poszczególnych części materiału różni się między sobą.

\(p=0.006739\) (istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

Oceny poszczególnych części materiału różnią się istotnie statystycznie.

Uzyskaną wartość \(p\) należy traktować ostrożnie ze względu na możliwe rangi wiązane – w tym przypadku znajduje się ona jednak znacznie poniżej przyjętego poziomu istotności. Różnice w odpowiedziach można obserwować na wykresie; dla tego testu nie ma jednak możliwości przeprowadzenia analizy POST-HOC.

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy: dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów (\(R_j\)) lub są upraszczane do median (\(\theta_j\)):

\[\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_1=\theta_2=...=\theta_k,\\ \mathcal{H}_1: & \text{nie wszystkie }\theta_j\text{ są sobie równe }(j=1,2,...,k), \end{array}\]

Wzory:

Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=A\Sigma_0^{-1}A^T, \]

gdzie:
\(A=(A_1,A_2,...,A_{k-1})\),
\(A_j=\sum_{i=1}^n\sqrt{\frac{12}{s_i+1}}\left(R_{ij}-\frac{s_i+1}{2}\right)\),
\(s_i\) – liczba obserwacji dla \(i\)-tego obiektu,
\(R_{ij}\) – rangi przypisane kolejnym pomiarom (\(j=1,2,...k\)), oddzielnie dla każdego z badanych obiektów (\(i=1,2,...n\)), przy czym rangi dla braków danych są równe średniej randze dla danego obiektu,
\(\Sigma_0\) – macierz wyznaczająca kowariancje dla \(A\) przy prawdziwości \(\mathcal{H}_0\)[155].

Gdy każda para pomiarów występuje równocześnie dla przynajmniej jednej obserwacji, statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład \(\chi^2\) z \(k-1\) stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość \(p\) porównujemy z poziomem istotności \(\alpha\): gdy \(p \le \alpha\), odrzucamy \(\mathcal{H}_0\) na rzecz \(\mathcal{H}_1\); gdy \(p > \alpha\), nie ma podstaw, aby odrzucić \(\mathcal{H}_0\).