TESTOWANIE HIPOTEZ

Uogólnienie wyników otrzymanych dla próby na całą populację dzieli się zasadniczo na 2 części:

• estymację \(–\) szacowanie wartości parametrów populacji na podstawie próby statystycznej,
• weryfikację hipotez statystycznych \(–\) sprawdzanie określonych założeń sformułowanych dla parametrów populacji generalnej na podstawie wyników z próby.

Estymacja punktowa i przedziałowa

W praktyce najczęściej nie znamy parametrów (charakterystyk) całej populacji, a dysponujemy jedynie próbką wylosowaną z tej populacji. Estymatory punktowe to charakterystyki wyliczone na podstawie próby losowej, a ich dokładność określa błąd standardowy. Prawdziwa wartość parametru populacji znajduje się w okolicy wyznaczonego estymatora punktowego – np. parametr populacyjny średnia arytmetyczna \(\mu\) znajduje się w okolicy estymatora z próby, jakim jest \(\overline{x}\).
Znając teoretyczny rozkład estymatora, możemy z góry określonym poziomem ufności (\(1-\alpha\)) szacować wartość parametru populacji na podstawie estymatora z próby losowej. Taki zabieg nosi nazwę estymacji przedziałowej, a wyznaczony w ten sposób przedział nazywamy przedziałem ufności (ang. confidence interval); samo \(\alpha\) nazywamy zaś poziomem istotności (ang. significance level).
Najczęściej przyjmuje się poziom istotności równy 0.05, 0.01 lub 0.001.

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych przebiega w kilku krokach.

• Krok 1. Postawienie hipotez. Będą one weryfikowane za pomocą odpowiedniego testu statystycznego. Każdy test podaje ogólną postać hipotezy zerowej \(-\) \(\mathcal{H}_0\) (ang. null hypothesis) i hipotezy alternatywnej \(-\) \(\mathcal{H}_1\) (ang. alternative hypothesis):

  \(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \textrm{\textbf{nie ma} ważnej statystycznie \textbf{różnicy} między (średnimi,}\\ &\textrm{medianami, proporcjami, rozkładami, itp.) \textbf{populacji}},\\\\ \mathcal{H}_1: & \textrm{\textbf{istnieje} ważna statystycznie \textbf{różnica} między średnimi,}\\ &\textrm{medianami, proporcjami, rozkładami, itp.) \textbf{populacji}}. \end{array}\)

  Badacz musi sformułować hipotezę tak, by była zgodna z rzeczywistością i z wymogami wybranego testu statystycznego, np.:

  \(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \textrm{odsetek kobiet i mężczyzn prowadzących działalność gospodarczą}\\ &\textrm{w badanej populacji jest taki sam}. \end{array}\)

  Jeśli nie wiemy, który odsetek (kobiet czy mężczyzn) mógłby być w badanej populacji większy, hipoteza alternatywna powinna być dwustronna, tzn. nie zakładamy kierunku różnicy:

  \(\begin{array}{cl} \mathcal{H}_1: & \textrm{odsetek kobiet i mężczyzn prowadzących działalność gospodarczą}\\ &\textrm{w badanej populacji jest różny}. \end{array}\)

  Tylko w rzadkich przypadkach, gdy mamy pewność co do kierunku spodziewanej różnicy, można zastosować jednostronną hipotezę alternatywną.

• Krok 2. Wybór testu i wyliczenie statystyki testowej. Sprawdzamy, która z hipotez – \(\mathcal{H}_0\) czy \(\mathcal{H}_1\) – jest bardziej prawdopodobna. W zależności od rodzaju badania i charakteru zmiennych dobieramy odpowiedni test statystyczny.

  Uwaga! Wybór testu statystycznego wiąże się przede wszystkim z odpowiednią skalą pomiarową (interwałową, porządkową, nominalną), jaką reprezentują analizowane dane, oraz z modelem badania (model zależny lub niezależny). Pomiary danej cechy nazywamy zależnymi (powiązanymi), gdy są wykonane kilkukrotnie dla tych samych obiektów. Gdy pomiary danej cechy dotyczą obiektów należących do różnych grup, mówimy o grupach niezależnych (niepowiązanych). Przykłady badań w grupach zależnych: masa ciała pacjentów przed i po terapii odchudzającej, reakcja na bodziec tej samej grupy osób w dwóch różnych warunkach (np. w nocy i w dzień), ocena zdolności kredytowej tych samych klientów dokonana przez 2 różne banki. Przykłady badań w grupach niezależnych: masa ciała w grupie pacjentów zdrowych i grupie pacjentów chorych, efektywność nawożenia kilkoma różnymi rodzajami nawozów, wielkość PKB w różnych krajach.
  Uwaga! Zawarty w oknie Kreatora graf ułatwia wybór odpowiedniego testu statystycznego.

  Statystyka testowa wybranego testu, wyliczona zgodnie z jej wzorem, podlega odpowiedniemu dla niej rozkładowi teoretycznemu.

  

  Program wylicza wartość statystyki testowej oraz odpowiadającą jej wartość \(p\) (czyli tę część pola pod krzywą, która odpowiada wartości statystyki testowej). Wartość \(p\) pozwala wybrać spośród hipotezy zerowej i alternatywnej tę bardziej prawdopodobną. Zawsze zakładamy przy tym prawdziwość hipotezy zerowej, a zebrane dane mają dostarczyć wystarczających argumentów przeciwko tej hipotezie:

  \[ \begin{array}{ccl} \text{ jeżeli } p \le \alpha & \Longrightarrow & \text{ odrzucamy } \mathcal{H}_0 \text{ na rzecz } \mathcal{H}_1, \\ \text{ jeżeli } p > \alpha & \Longrightarrow & \text{ nie ma podstaw, aby odrzucić } \mathcal{H}_0. \\ \end{array}\]

  Zwykle przyjmuje się poziom istotności \(\alpha=0.05\), godząc się z tym, że w 5% przypadków odrzucimy hipotezę zerową, mimo że jest ona prawdziwa. W szczególnych sytuacjach można wybrać inny poziom istotności, np. 0.01 lub 0.001.

• Krok 3. Opis wyników weryfikacji hipotez.

Błędy pierwszego i drugiego rodzaju

Test statystyczny może nie być zgodny z rzeczywistością na dwa sposoby:

Możemy popełnić 2 rodzaje błędów:

• \(\alpha\) = błąd pierwszego rodzaju – prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy \(\mathcal{H}_0\), gdy jest ona prawdziwa,
• \(\beta\) = błąd drugiego rodzaju – prawdopodobieństwo przyjęcia hipotezy \(\mathcal{H}_0\), gdy jest ona fałszywa.

Moc testu to \(1 - \beta\).
Wartości \(\alpha\) i \(\beta\) są ze sobą powiązane. Przyjętą praktyką jest ustalenie z góry poziomu istotności \(\alpha\) i minimalizacja \(\beta\) przez zwiększanie liczności próby.