Test chi-kwadrat dla małych tabel

Kiedy stosować ten test:

Test \(\chi^2\) dla tabel \(2\times 2\) (ang. Pearson's Chi-square test), Karl Pearson 1900, stosujemy, gdy chcemy sprawdzić, czy dwie cechy o dwóch kategoriach każda (np. płeć i zdawalność egzaminu) są ze sobą powiązane. Jest to szczególny przypadek testu \(\chi^2\) dla tabel \(r\times c\) dla najmniejszej możliwej tabeli.

Warunki stosowania

pomiar na skali nominalnej,
model niezależny,
tabela kontyngencji \(2\times 2\) (patrz tabela (1)).

Jak ustawić analizę

Statystyka \(\to\) Testy nieparametryczne \(\to\) Chi-kwadrat, Fisher, OR/RR (lub poprzez Kreator).

Krok 1. Wskaż dwie zmienne (cechy), których zależność chcesz sprawdzić.

Krok 2. Uruchom analizę.

Uwaga! Gdy liczności oczekiwane w tabeli są małe (poniżej 5), zamiast podstawowego testu \(\chi^2\) lepiej opierać wniosek na teście z poprawką Yatesa, teście dokładnym Fishera lub teście mid-p – wszystkie są liczone automatycznie razem z testem podstawowym.

Wykonanie i interpretacja

Przykład 1. (plik płeć-egzamin.pqs)
Rozpatrzmy próbę składającą się z 170 osób (\(n=170\)), dla których badamy 2 cechy (\(X\)=płeć, \(Y\)=zdawalność egzaminu). Każda z tych cech występuje w dwóch kategoriach (\(X_1\)=k, \(X_2\)=m, \(Y_1\)=tak, \(Y_2\)=nie). Na podstawie tej próby chcielibyśmy się dowiedzieć, czy w badanej populacji istnieje zależność pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu. Rozkład danych przedstawia tabela kontyngencji:

Liczności obserwowane		zdawalność egzaminu
\(O_{ij}\)		tak	nie	suma
płeć	k	50	40	90
	m	20	60	80
	suma	70	100	170

\(p=0.000053\) (test chi-kwadrat, istotne statystycznie, \(\alpha=0.05\))

W badanej populacji istnieje zależność pomiędzy płcią a zdawalnością egzaminu.

Tabela liczności oczekiwanych nie zawiera wartości mniejszych niż 5, więc warunek Cochrana jest spełniony – podstawowy test \(\chi^2\) można było zastosować wprost. Do tego samego wniosku prowadzą pozostałe warianty testu: test z poprawką Yatesa (\(p=0.000103\)), test dokładny Fishera (\(p=0.000083\)) i test mid-p (\(p=0.000054\)).

DLA ZAINTERESOWANYCH

Hipotezy:

\[ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \text{nie istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami w populacji,}\\ \mathcal{H}_1: & \text{istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami w populacji.} \end{array} \]

Wzory: Statystyka testowa ma postać:

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}. \]

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład \(\chi^2\) z jednym stopniem swobody.